Calcule a derivada de cada uma das funções:.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
- Função:
. - Pergunta: encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
O que é derivada (resumo rápido e objetivo): a derivada
mede a taxa de variação instantânea de
em relação a
. A definição por limite é
Regras práticas que vamos usar (explicadas de forma direta):
- Regra da soma e da constante: a derivada da soma é a soma das derivadas e a derivada de uma constante é zero. Ou seja, se
então . Se é constante então . - Regra do fator constante: se
com constante, então . - Regra do polinômio (regra do expoente ou power rule): para inteiro
,
Breve justificativa da regra do expoente (sem te deixar perdido): usando a definição por limite e o Teorema do Binômio,
Ao calcular
todos os termos têm fator
; ao fazer
só sobra o termo com
, que é
. Por isso a fórmula acima vale.
Passo 3
Plano aplicado à função: como
é soma de termos de forma monômio ou constante, aplicamos a regra da soma termo a termo. Vamos derivar cada termo separadamente usando a regra do expoente e a regra do fator constante.
Passo 4
Derivando termo a termo:
- Para
, aplicando a regra do expoente com :
- Para
, tratar como constante multiplicando . Primeiro pela regra do expoente com . Aplicando o fator constante:
- Para
, é um termo linear. A derivada de é , então com fator constante:
- Para a constante
:
Passo 5
Somando as derivadas dos termos (regra da soma), obtemos a derivada final: