Calcule a derivada de cada uma das funções:.
f(x)=x^{4}-3 x^{2}+5 x-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • Função: f(x)=x^{4}-3 x^{2}+5 x-2.
  • Pergunta: encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

O que é derivada (resumo rápido e objetivo): a derivada f'(x) mede a taxa de variação instantânea de f em relação a x. A definição por limite é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Regras práticas que vamos usar (explicadas de forma direta):
  • Regra da soma e da constante: a derivada da soma é a soma das derivadas e a derivada de uma constante é zero. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x) então g'(x)=u'(x)+v'(x). Se c é constante então \dfrac{d}{dx}c=0.
  • Regra do fator constante: se g(x)=c\cdot u(x) com c constante, então g'(x)=c\cdot u'(x).
  • Regra do polinômio (regra do expoente ou power rule): para inteiro n\ge 1,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Breve justificativa da regra do expoente (sem te deixar perdido): usando a definição por limite e o Teorema do Binômio,
(x+h)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}h^{k}.
Ao calcular \dfrac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h} todos os termos têm fator h; ao fazer h\to0 só sobra o termo com k=1, que é n x^{n-1}. Por isso a fórmula acima vale.

Passo 3

Plano aplicado à função: como f(x) é soma de termos de forma monômio ou constante, aplicamos a regra da soma termo a termo. Vamos derivar cada termo separadamente usando a regra do expoente e a regra do fator constante.

Passo 4

Derivando termo a termo:
  • Para x^{4}, aplicando a regra do expoente com n=4:
\frac{d}{dx}x^{4}=4x^{3}.
  • Para -3 x^{2}, tratar como constante -3 multiplicando x^{2}. Primeiro \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x pela regra do expoente com n=2. Aplicando o fator constante:
\frac{d}{dx}\bigl(-3 x^{2}\bigr)=-3\cdot 2x=-6x.
  • Para 5x, é um termo linear. A derivada de x é 1, então com fator constante:
\frac{d}{dx}(5x)=5\cdot 1=5.
  • Para a constante -2:
\frac{d}{dx}(-2)=0.

Passo 5

Somando as derivadas dos termos (regra da soma), obtemos a derivada final:
f'(x)=4x^{3}-6x+5.

Resposta

f'(x)=4x^{3}-6x+5

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