Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções:
g(r)=(3 r^2+25 r+4)^5;

Passo 1

Nesse exercício a gente tem a função g(r)=l(3r^2+25r+4r)^5. O conteúdo principal envolvido é a regra da cadeia combinada com a derivada de quociente, então vamos precisar aplicar as duas.

Passo 2

Definimos u(r)=3r^2+25r+4. Pela regra da cadeia, se g(r)=u(r)^5, então temos
g'(r)=5,u(r)^4cdot u'(r)

Passo 3

Para achar u'(r) usamos a regra do quociente. Seja N(r)=3r^2+2 e D(r)=5r+4. Então
N'(r)=6r,
D'(r)=5,
portanto
u'(r)=N'(r)D(r)-N(r)D'(r)D(r)^2=6r(5r+4)-(3r^2+2)5(5r+4)^2

Passo 4

Agora simplifica o numerador:
6r(5r+4)-(3r^2+2)5=30r^2+24r-15r^2-10=15r^2+24r-10
Logo
u'(r)=15r^2+24r-10(5r+4)^2

Passo 5

Substituindo em g'(r)=5u(r)^4,u'(r) e lembrando que u(r)=3r^2+25r+4, obtemos
g'(r)=5gl(3r^2+25r+4gr)^4cdot15r^2+24r-10(5r+4)^2 =5(3r^2+2)^4(15r^2+24r-10)(5r+4)^6

Resposta

g'(r)=5(3r^2+2)^4(15r^2+24r-10)(5r+4)^6

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