Encontre a solução de
onde, f(x)=lx, 0 <= x <= a2 a-x, a2 <= x <= a
Passo 1
O enunciado pede a solução de Laplace, isto é, da EDP uxx+uyy=0 em um retângulo 0<= x<= a,;0<= y<= b com condições de contorno homogêneas em três lados e u(a,y)=f(y), onde f(y) é a função triangular
O conteúdo principal é separação de variáveis para Laplace e expansão em séries de senos (série de Fourier-seno) para impor u(a,y)=f(y). Precisaremos usar:
• Assumir u(x,y)=X(x)Y(y)
• Resolver os problemas de autovalor para Y com Y(0)=Y(b)=0
• Ajustar X com X(0)=0
• Calcular coeficientes via série de Fourier-seno de f(y).
Passo 2
Assumindo u(x,y)=X(x)Y(y) e separando: divido por XY e obtenho
X''(x)X(x)+Y''(y)Y(y)=0
Coloco cada termo igual a -lambda e +lambda respectivamente, chegando em dois ODEs:
Y''(y)+lambda Y(y)=0, Y(0)=Y(b)=0
X''(x)-lambda X(x)=0, X(0)=0
Passo 3
Do problema de autovalor para Y, as condições homogêneas em y=0,b dão autovalores
lambdan=l(npibr)^2, n=1,2,3,dots
e autovetores
Yn(y)=sinl(npi ybr)
Passo 4
Para cada n, a equação de X é
Xn''(x)-l(npibr)^2Xn(x)=0,
cuja solução geral é
Xn(x)=Ansinhl(npi xbr)+Bncoshl(npi xbr)
A condição Xn(0)=0 força Bn=0, então
Xn(x)=Ansinhl(npi xbr)
Passo 5
A soma geral é
u(x,y)=sumn=1^infty Ansinhl(npi xbr)sinl(npi ybr)
Impondo u(a,y)=f(y) temos
f(y)=sumn=1^infty Ansinhl(npi abr)sinl(npi ybr)
Isso é a série de Fourier-seno de f(y) em (0,b), logo