Encontre a solução de luy y+ux x=0, 0 <= x <= a, 0 <= y <= b u(x, 0)=0, u(x, b)=0, 0
onde, f(x)=lx, 0 <= x <= a2 a-x, a2 <= x <= a

Passo 1

O enunciado pede a solução de Laplace, isto é, da EDP uxx+uyy=0 em um retângulo 0<= x<= a,;0<= y<= b com condições de contorno homogêneas em três lados e u(a,y)=f(y), onde f(y) é a função triangular
O conteúdo principal é separação de variáveis para Laplace e expansão em séries de senos (série de Fourier-seno) para impor u(a,y)=f(y). Precisaremos usar:
• Assumir u(x,y)=X(x)Y(y)
• Resolver os problemas de autovalor para Y com Y(0)=Y(b)=0
• Ajustar X com X(0)=0
• Calcular coeficientes via série de Fourier-seno de f(y).

Passo 2

Assumindo u(x,y)=X(x)Y(y) e separando: divido por XY e obtenho
X''(x)X(x)+Y''(y)Y(y)=0
Coloco cada termo igual a -lambda e +lambda respectivamente, chegando em dois ODEs:
Y''(y)+lambda Y(y)=0, Y(0)=Y(b)=0
X''(x)-lambda X(x)=0, X(0)=0

Passo 3

Do problema de autovalor para Y, as condições homogêneas em y=0,b dão autovalores
lambdan=l(npibr)^2, n=1,2,3,dots
e autovetores
Yn(y)=sinl(npi ybr)

Passo 4

Para cada n, a equação de X é
Xn''(x)-l(npibr)^2Xn(x)=0,
cuja solução geral é
Xn(x)=Ansinhl(npi xbr)+Bncoshl(npi xbr)
A condição Xn(0)=0 força Bn=0, então
Xn(x)=Ansinhl(npi xbr)

Passo 5

A soma geral é
u(x,y)=sumn=1^infty Ansinhl(npi xbr)sinl(npi ybr)
Impondo u(a,y)=f(y) temos
f(y)=sumn=1^infty Ansinhl(npi abr)sinl(npi ybr)
Isso é a série de Fourier-seno de f(y) em (0,b), logo
An=2bsinhl(npi abr)integral0^b f(y)sinl(npi ybr),dy

Passo 6

A função triangular é
f(y)=y,&0<= y<= b/2, b-y,&b/2<= y<= b
Calculando a integral em dois pedaços e usando identidades, mostra-se que só os termos ímpares n=2m-1 sobrevivem, com
integral0^b f(y)sinl((2m-1)pi ybr)dy =2(-1)^m-1b^2(2m-1)^2pi^2
Assim,
A2m-1=2bsinhl(tfrac(2m-1)pi abr)cdot2(-1)^m-1b^2(2m-1)^2pi^2 =4(-1)^m-1b(2m-1)^2pi^2sinhl(tfrac(2m-1)pi abr),
enquanto An=0 para n par.

Passo 7

Finalmente, agrupando apenas os modos ímpares n=2m-1, a solução é
u(x,y)=summ=1^infty 4(-1)^m-1b(2m-1)^2pi^2sinhl(tfrac(2m-1)pi abr) sinhl(tfrac(2m-1)pi xbr) sinl(tfrac(2m-1)pi ybr)

Passo 8

Esta série satisfaz uxx+uyy=0 e todos os contornos: nula em y=0,b e em x=0, e igual à função triangular em x=a.

Resposta

u(x,y)=summ=1^infty 4(-1)^m-1b(2m-1)^2pi^2sinhl(tfrac(2m-1)pi abr) sinhl(tfrac(2m-1)pi xbr) sinl(tfrac(2m-1)pi ybr)

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