Use a regra da cadeia para determinar d fd t.
c) f(x, y, z)=ln (x^2+y^2+z^2), x=sen t, y=cos t, z=tg t

Passo 1

O enunciado pede para calcular dfdt usando a regra da cadeia para f(x,y,z)=ln(x^2+y^2+z^2) com as parametrizações x=sin t, y=cos t e z=tan t.

Passo 2

Como f(u)=ln u com u=x^2+y^2+z^2, calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x=1x^2+y^2+z^2cdot2x=2xx^2+y^2+z^2,
partial fpartial y=2yx^2+y^2+z^2, partial fpartial z=2zx^2+y^2+z^2

Passo 3

Agora derivamos cada parâmetro em relação a t:
dxdt=ddt(sin t)=cos t,
dydt=ddt(cos t)=-sin t,
dzdt=ddt(tan t)=sec^2 t

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
dfdt=partial fpartial xdxdt+partial fpartial ydydt+partial fpartial zdzdt

Passo 5

Substituindo as expressões:
dfdt=2xcos t+2y(-sin t)+2zsec^2 tx^2+y^2+z^2

Passo 6

Como x=sin t, y=cos t e z=tan t, o numerador fica
2(sin tcos t-cos tsin t+tan tsec^2 t)=2tan tsec^2 t,
e o denominador é
sin^2 t+cos^2 t+tan^2 t=1+tan^2 t=sec^2 t

Passo 7

Portanto simplificando:
dfdt=2tan tsec^2 tsec^2 t=2tan t

Resposta

2tan t

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