Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=7 ln cos raiz[5]x^2+1;

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=7 ln(cos(√[5]{x²+1})). Isso envolve aplicar regra da cadeia várias vezes: a derivada de ln(u), depois de cos(v) e finalmente de √[5]{x²+1}.

Passo 2

Vamos chamar u(x)=cos(w(x)), com w(x)=√[5]{x²+1}. A derivada da composição f(x)=7 ln(u(x)) é dada por f’(x)=7·u’(x)/u(x), pois (d/dx)[ln u]=u’/u.

Passo 3

Agora derivamos u(x)=cos(w). Como (d/dx)[cos w] = -sin(w)·w’, temos u’(x)=-sin(w(x))·w’(x).

Passo 4

Precisamos de w’(x), com w(x)=(x²+1)^{1/5}. Usando a regra do expoente, (d/dx)[(x²+1)^{1/5}] = (1/5)(x²+1)^{1/5 - 1}·2x.
Logo, w’(x)=\frac{2x}{5(x²+1)^{4/5}}.

Passo 5

Substituindo u’(x) e u(x) em f’(x):
f'(x)=7cdot -sin(w(x)),w'(x)cos(w(x))
Como sin(w)/cos(w)=tan(w), concluímos:
f'(x)=-7,tanl((x²+1)^1/5r)cdot 2x5(x²+1)^4/5²²

Resposta

-14x5(x²+1)^4/5,tanl((x²+1)^1/5r)²²

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