Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções, usando as regras de derivação:
f(x)=\pi^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\pi^{x}.
  • \pi é uma constante positiva (aproximadamente 3,14159).
    O objetivo é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Transformar a função para uma forma que facilita a diferenciação. Uma identidade útil é que qualquer potência com base positiva pode ser escrita usando a exponencial natural:
a^{x}=e^{x\ln a},
onde a>0 e \ln a é o logaritmo natural de a. Aplicando com a=\pi vemos que
\pi^{x}=e^{x\ln\pi}.
Explicando essa identidade de forma simples: \ln\pi é o número tal que e^{\ln\pi}=\pi. Então e^{x\ln\pi}=(e^{\ln\pi})^{x}=\pi^{x} por propriedades de potências.

Passo 3

Lembrar a regra de derivação que vamos usar (cadeia + exponencial):
  • A derivada da função exponencial composta e^{u(x)} é
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x),
onde u(x) é uma função diferenciável. Isso é a regra da cadeia aplicada ao exponencial.
Aqui temos u(x)=x\ln\pi.

Passo 4

Calcular u'(x). Como u(x)=x\ln\pi e \ln\pi é uma constante (pois \pi é constante), a derivada de u é simplesmente
u'(x)=\ln\pi.
Explicando passo a passo: derivada de x é 1, e multiplicando pela constante \ln\pi fica \ln\pi.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia à função reescrita em termos de e:
\frac{d}{dx}\pi^{x}=\frac{d}{dx}e^{x\ln\pi}=e^{x\ln\pi}\cdot\ln\pi.
Agora substituir de volta e^{x\ln\pi}=\pi^{x}:
\frac{d}{dx}\pi^{x}=\pi^{x}\ln\pi.

Passo 6

Interpretação e exemplo numérico curto para fixar: a derivada \pi^{x}\ln\pi mostra que a taxa de variação de \pi^{x} em x é proporcional ao próprio valor \pi^{x}, com fator de proporcionalidade \ln\pi. Por exemplo, em x=0:
f'(0)=\pi^{0}\ln\pi=1\cdot\ln\pi=\ln\pi\approx 1{,}1447.

Resposta

\pi^{x}\ln\pi

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