Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções, usando as regras de derivação:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
- A função é
. -
é uma constante positiva (aproximadamente ).
O objetivo é encontrar, a derivada de em função de .
Passo 2
Transformar a função para uma forma que facilita a diferenciação. Uma identidade útil é que qualquer potência com base positiva pode ser escrita usando a exponencial natural:
onde
e
é o logaritmo natural de
. Aplicando com
vemos que
Explicando essa identidade de forma simples:
é o número tal que
. Então
por propriedades de potências.
Passo 3
Lembrar a regra de derivação que vamos usar (cadeia + exponencial):
- A derivada da função exponencial composta
é
onde
é uma função diferenciável. Isso é a regra da cadeia aplicada ao exponencial.
Aqui temos .
Aqui temos
Passo 4
Calcular
. Como
e
é uma constante (pois
é constante), a derivada de
é simplesmente
Explicando passo a passo: derivada de
é
, e multiplicando pela constante
fica
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia à função reescrita em termos de
:
Agora substituir de volta
:
Passo 6
Interpretação e exemplo numérico curto para fixar: a derivada
mostra que a taxa de variação de
em
é proporcional ao próprio valor
, com fator de proporcionalidade
. Por exemplo, em
: