Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções, usando as regras de derivação:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
- A função é
. - A tarefa é aplicar as regras de derivação para obter
.
Passo 2
Relembrando as regras que vou usar (explicadas de forma clara):
- Regra da soma (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então
- Regra do coeficiente constante (constante multiplicativa): se
com constante, então
Isto significa que posso puxar constantes para fora da derivada.
- Regra do poder (power rule): para uma função do tipo
, com número real, vale
Aqui
é o expoente e
é a variável. Para uma termo
com
constante, aplica-se junto a regra do coeficiente:
.
- A derivada de uma constante é zero:
Passo 3
Derivando termo a termo (primeiro termo):
- O termo é
. Aqui o coeficiente é e o expoente é . - Aplicando a regra do poder e a regra do coeficiente:
Explicação: multiplica-se o expoente
pelo coeficiente
e diminui-se o expoente em
(ficando
).
Passo 4
Segundo termo:
- O termo é
. O coeficiente é e o expoente é . - Aplicando as mesmas regras:
Explicação: multiplica-se
por
dando
, e o novo expoente fica
.
Passo 5
Terceiro e quarto termos:
- Para
, que é , aplica-se a regra do poder com :
(Observação:
.)
- Para a constante
:
Passo 6
Agora, pela linearidade (regra da soma), somo as derivadas de cada termo. Das contas dos passos anteriores obtive as derivadas parciais:
- de
veio , - de
veio , - de
veio , - de
veio .
Somando essas parcelas (ainda sem simplificar além do necessário):
Passo 7
Dica rápida para a prova (encorajamento): para polinômios, faça isso termoz a termo com calma — aplique “multiplica expoente pelo coeficiente e diminui expoente em 1”. Em poucos segundos você chega ao resultado. Por exemplo, veja um exercício semelhante: para
, aplica-se a mesma regra e obtém-se
. Você consegue fazer isso também — respira fundo e aplica a regra passo a passo.