Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções, usando as regras de derivação:
f(x)=3 x^{5}+\frac{1}{3} x^{4}+x+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=3 x^{5}+\frac{1}{3} x^{4}+x+2.
  • A tarefa é aplicar as regras de derivação para obter f'(x).

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (explicadas de forma clara):
  • Regra da soma (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x) então
g'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Regra do coeficiente constante (constante multiplicativa): se u(x)=c\cdot v(x) com c constante, então
u'(x)=c\cdot v'(x).
Isto significa que posso puxar constantes para fora da derivada.
  • Regra do poder (power rule): para uma função do tipo x^{n}, com n número real, vale
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui n é o expoente e x é a variável. Para uma termo c\,x^{n} com c constante, aplica-se junto a regra do coeficiente: \dfrac{d}{dx}\bigl(c\,x^{n}\bigr)=c\,n\,x^{n-1}.
  • A derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}(\text{constante})=0.

Passo 3

Derivando termo a termo (primeiro termo):
  • O termo é 3 x^{5}. Aqui o coeficiente é 3 e o expoente é 5.
  • Aplicando a regra do poder e a regra do coeficiente:
\frac{d}{dx}\bigl(3 x^{5}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr)=3\cdot\bigl(5x^{4}\bigr)=15x^{4}.
Explicação: multiplica-se o expoente 5 pelo coeficiente 3 e diminui-se o expoente em 1 (ficando 4).

Passo 4

Segundo termo:
  • O termo é \dfrac{1}{3}x^{4}. O coeficiente é \dfrac{1}{3} e o expoente é 4.
  • Aplicando as mesmas regras:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^{4}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=\frac{1}{3}\cdot(4x^{3})=\frac{4}{3}x^{3}.
Explicação: multiplica-se 4 por \dfrac{1}{3} dando \dfrac{4}{3}, e o novo expoente fica 3.

Passo 5

Terceiro e quarto termos:
  • Para x, que é 1\cdot x^{1}, aplica-se a regra do poder com n=1:
\frac{d}{dx}(x)=1\cdot x^{0}=1.
(Observação: x^{0}=1.)
  • Para a constante 2:
\frac{d}{dx}(2)=0.

Passo 6

Agora, pela linearidade (regra da soma), somo as derivadas de cada termo. Das contas dos passos anteriores obtive as derivadas parciais:
  • de 3x^{5} veio 15x^{4},
  • de \dfrac{1}{3}x^{4} veio \dfrac{4}{3}x^{3},
  • de x veio 1,
  • de 2 veio 0.
Somando essas parcelas (ainda sem simplificar além do necessário):
f'(x)=15x^{4}+\frac{4}{3}x^{3}+1+0.

Passo 7

Dica rápida para a prova (encorajamento): para polinômios, faça isso termoz a termo com calma — aplique “multiplica expoente pelo coeficiente e diminui expoente em 1”. Em poucos segundos você chega ao resultado. Por exemplo, veja um exercício semelhante: para g(x)=5x^{3}-2x^{2}, aplica-se a mesma regra e obtém-se g'(x)=15x^{2}-4x. Você consegue fazer isso também — respira fundo e aplica a regra passo a passo.

Resposta

15x^{4}+\dfrac{4}{3}x^{3}+1

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