Seja
. Calcule:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - A pergunta é: qual é o valor da derivada de
no ponto , ou seja .
Passo 2
O que significa
: é a derivada de
no ponto
. Intuitivamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em
ou a taxa de variação instantânea de
naquele ponto.
Definição (formal) da derivada num ponto
:
Aqui:
-
é o ponto onde se quer a derivada; -
é o incremento pequeno que tende a zero; - a expressão dentro do limite é o quociente incremental (declive médio), e o limite dá a declividade instantânea.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas de modo prático):
- Regra da linearidade: a derivada de soma é soma das derivadas, e constante pode ser fatorada:
onde
é constante.
- Regra do termo constante: a derivada de uma constante é zero:
para
constante.
- Regra da potência (power rule): para inteiro positivo
,
Breve justificativa da regra da potência (caso
, usando a definição por limite): para
,
Pelo binômio de Newton,
Subtraindo
, dividindo por
e fazendo
, todos os termos com
de ordem
vão para zero, sobrando
. Assim
. Essa é a ideia geral da prova para expoente inteiro.
Passo 4
Aplicando as regras à função
:
- Derivada de
: usar regra da constante vezes potência. A derivada de é , então
- Derivada de
(constante) é .
Somando as derivadas (linearidade),
Passo 5
Avaliar em
:
Passo 6
Verificação alternativa (rápida) usando a definição no ponto
:
Simplificando
cancela e
fatorando:
onde
representa termos que têm
ou potência maior e que ao dividir por
e fazer
desaparecem. Isso confirma o resultado anterior.