Seja f(x)=9 x^{5}+17. Calcule:
f^{\prime}(1)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=9x^{5}+17 e pede para calcular f^{\prime}(1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=9x^{5}+17.
  • A pergunta é: qual é o valor da derivada de f no ponto x=1, ou seja f^{\prime}(1).

Passo 2

O que significa f^{\prime}(1): é a derivada de f no ponto x=1. Intuitivamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em x=1 ou a taxa de variação instantânea de f naquele ponto.
Definição (formal) da derivada num ponto a:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui:
  • a é o ponto onde se quer a derivada;
  • h é o incremento pequeno que tende a zero;
  • a expressão dentro do limite é o quociente incremental (declive médio), e o limite dá a declividade instantânea.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas de modo prático):
  1. Regra da linearidade: a derivada de soma é soma das derivadas, e constante pode ser fatorada:
\frac{d}{dx}\big( c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x),\qquad \frac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big)=g'(x)+h'(x),
onde c é constante.
  1. Regra do termo constante: a derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dx}C=0,
para C constante.
  1. Regra da potência (power rule): para inteiro positivo n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}.
Breve justificativa da regra da potência (caso n=5, usando a definição por limite): para g(x)=x^{5},
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{5}-x^{5}}{h}.
Pelo binômio de Newton,
(x+h)^{5}=x^{5}+5x^{4}h+10x^{3}h^{2}+10x^{2}h^{3}+5xh^{4}+h^{5}.
Subtraindo x^{5}, dividindo por h e fazendo h\to0, todos os termos com h de ordem \ge2 vão para zero, sobrando 5x^{4}. Assim g'(x)=5x^{4}. Essa é a ideia geral da prova para expoente inteiro.

Passo 4

Aplicando as regras à função f(x)=9x^{5}+17:
  • Derivada de 9x^{5}: usar regra da constante vezes potência. A derivada de x^{5} é 5x^{4}, então
\frac{d}{dx}\big(9x^{5}\big)=9\cdot 5x^{4}=45x^{4}.
  • Derivada de 17 (constante) é 0.
Somando as derivadas (linearidade),
f'(x)=45x^{4}+0=45x^{4}.

Passo 5

Avaliar em x=1:
f'(1)=45\cdot 1^{4}=45\cdot 1=45.

Passo 6

Verificação alternativa (rápida) usando a definição no ponto a=1:
f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{9(1+h)^{5}+17-(9\cdot1^{5}+17)}{h}.
Simplificando 17 cancela e 9 fatorando:
=\lim_{h\to0}\frac{9\big((1+h)^{5}-1\big)}{h} =9\lim_{h\to0}\frac{5h+O(h^{2})}{h}=9\cdot 5=45,
onde O(h^{2}) representa termos que têm h^{2} ou potência maior e que ao dividir por h e fazer h\to0 desaparecem. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

45

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