Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções vetoriais r(t) :
r(t)=t^2 i+cos (t^2) j+sin ^2 t k

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
r(t)=t^2,i+cosl(t^2r),j+sin^2t,k
e pede sua derivada em relação a t. O conteúdo aqui é a derivada de função vetorial, que se faz componente a componente, aplicando regras de derivação (potência, cosseno, cadeia).

Passo 2

Derivamos a componente na direção de i:
ddtl(t^2r)=2t

Passo 3

Derivamos a componente na direção de j, que é cosl(t^2r). Usamos a regra da cadeia:
ddtl[cosl(t^2r)r] =-sinl(t^2r)cdotddtl(t^2r) =-2t,sinl(t^2r)

Passo 4

Derivamos a componente na direção de k, que é sin^2t=(sin t)^2. Também usamos a regra da cadeia (derivada de u^2 é 2u,u'):
ddtl[sin^2tr] =2,sin tcdotddt(sin t) =2,sin tcdotcos t =sinl(2tr)

Passo 5

Juntando as três componentes, obtemos
r'(t) =2t,i -2t,sinl(t^2r),j +sinl(2tr),k

Resposta

r'(t)=2t,i-2tsinl(t^2r),j+sinl(2tr),k

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