Para a função h(x) dada no Exercício 1, determine os intervalos onde tal função é positiva e os intervalos onde é negativa. (Sugestão: note que h(x)=(x+1)(x+2)(x+3) e estude o sinal do produto destes termos.)

Passo 1

O exercício pede para estudar onde a função
h(x)=(x+1)(x+2)(x+3)
é positiva e onde é negativa. O conteúdo é o estudo de sinal de um produto de três fatores lineares, usando as raízes como pontos críticos que dividem a reta real em intervalos.

Passo 2

Primeiro encontramos as raízes de h(x) resolvendo
(x+1)(x+2)(x+3)=0
Logo as raízes são
x=-1, x=-2, x=-3

Passo 3

Essas três raízes particionam a reta real nos quatro intervalos
(-infty,-3), (-3,-2), (-2,-1), (-1,infty)

Passo 4

Em cada intervalo analisamos o sinal de cada fator e depois multiplicamos:
  • Para x< -3:
    x+1<0,;x+2<0,;x+3<0 Rightarrow três negativos Rightarrow h(x)<0.
  • Para -3<x< -2:
    x+1<0,;x+2<0,;x+3>0 Rightarrow dois negativos e um positivo Rightarrow h(x)>0.
  • Para -2<x< -1:
    x+1<0,;x+2>0,;x+3>0 Rightarrow um negativo e dois positivos Rightarrow h(x)<0.
  • Para x> -1:
    x+1>0,;x+2>0,;x+3>0 Rightarrow três positivos Rightarrow h(x)>0.

Passo 5

Agora reunimos os intervalos onde h(x) assume sinal positivo e negativo.

Resposta

h(x)>0 em (-3,-2)cup(-1,infty).
h(x)<0 em (-infty,-3)cup(-2,-1).

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