Calcule a derivada de
no ponto
.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada de
no ponto
e escolher a alternativa correta entre as opções dadas.
Informações fornecidas:
- A função é
. - O ponto para avaliar a derivada é
. - As opções usam
e , que vêm de . (Observação: é a mesma função que .)
Passo 2
Primeiro reescrevemos a função de uma forma que facilita a diferenciação quando base e expoente dependem de
. Usamos a identidade
válida para
. Como
, podemos aplicar:
Explicação curta: transformar em exponencial com
permite usar a regra da cadeia diretamente, porque a derivada de
é
.
Passo 3
Definimos
. Pela regra da cadeia,
Como
, teremos
Passo 4
Agora calculamos
. Aqui usamos a regra do produto para
com
e
. A regra do produto diz
Calculamos as derivadas parciais:
-
. (Regra da cadeia: derivada de é e derivada de é .) -
Portanto
Passo 5
Substituindo
em
obtemos
Expliquei cada termo: o primeiro vem de
e o segundo de
.
Passo 6
Agora avaliamos em
. Substituindo
e observando que
,
Passo 7
Simplificamos a expressão fatorando
do parêntese para combinar com a potência:
Usando a propriedade de potências
, obtemos
Passo 8
Comparando com as opções fornecidas, vemos que a alternativa (a) é justamente
que coincide com a expressão que encontramos (lembrando que
).
Resposta
(a)