Calcule a derivada de x^{\cos (5 x)} no ponto x=6.
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 6^{\cos (30)-1}(\cos (30)-30 \ln (6) \operatorname{sen}(30))
\bigcirc b. 6^{1+\cos (30)}(\cos (30)+5 \ln (6) \operatorname{sen}(30))
\bigcirc c. 6^{1+\cos (30)}(\cos (30)-5 \ln (6) \operatorname{sen}(30))
\bigcirc d. 6^{\cos (30)-1}(\cos (30)+30 \ln (6) \operatorname{sen}(30))
\bigcirc e. 6^{\cos (30)-1}(\cos (30)-6 \ln (6) \operatorname{sen}(30))

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada de x^{\cos(5x)} no ponto x=6 e escolher a alternativa correta entre as opções dadas.
Informações fornecidas:
  • A função é x^{\cos(5x)}.
  • O ponto para avaliar a derivada é x=6.
  • As opções usam \cos(30) e \operatorname{sen}(30), que vêm de 5\cdot 6=30. (Observação: \operatorname{sen} é a mesma função que \sin.)

Passo 2

Primeiro reescrevemos a função de uma forma que facilita a diferenciação quando base e expoente dependem de x. Usamos a identidade
a^b = e^{b\ln a},
válida para a>0. Como x=6>0, podemos aplicar:
f(x)=x^{\cos(5x)} = e^{\cos(5x)\,\ln x}.
Explicação curta: transformar em exponencial com e^{(\cdot)} permite usar a regra da cadeia diretamente, porque a derivada de e^{g(x)} é e^{g(x)}g'(x).

Passo 3

Definimos g(x)=\cos(5x)\,\ln x. Pela regra da cadeia,
f'(x) = \frac{d}{dx}\big(e^{g(x)}\big) = e^{g(x)}\,g'(x).
Como e^{g(x)}=x^{\cos(5x)}, teremos
f'(x)=x^{\cos(5x)}\,g'(x).

Passo 4

Agora calculamos g'(x). Aqui usamos a regra do produto para g(x)=u(x)v(x) com u(x)=\cos(5x) e v(x)=\ln x. A regra do produto diz
(u v)' = u'v + uv'.
Calculamos as derivadas parciais:
  • u'(x)=\dfrac{d}{dx}\cos(5x) = -\sin(5x)\cdot 5 = -5\sin(5x). (Regra da cadeia: derivada de \cos é -\sin e derivada de 5x é 5.)
  • v'(x)=\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}.
Portanto
g'(x)=u'v+uv' = -5\sin(5x)\,\ln x + \cos(5x)\cdot\frac{1}{x}.

Passo 5

Substituindo g'(x) em f'(x) obtemos
f'(x)=x^{\cos(5x)}\left(\frac{\cos(5x)}{x}-5\ln x\,\sin(5x)\right).
Expliquei cada termo: o primeiro vem de \cos(5x)\cdot \frac{1}{x} e o segundo de -5\sin(5x)\ln x.

Passo 6

Agora avaliamos em x=6. Substituindo x=6 e observando que 5\cdot 6=30,
f'(6)=6^{\cos(30)}\left(\frac{\cos(30)}{6}-5\ln(6)\,\sin(30)\right).

Passo 7

Simplificamos a expressão fatorando 1/6 do parêntese para combinar com a potência:
f'(6)=6^{\cos(30)}\cdot\frac{1}{6}\left(\cos(30)-30\ln(6)\,\sin(30)\right).
Usando a propriedade de potências 6^{\cos(30)}\cdot\frac{1}{6}=6^{\cos(30)-1}, obtemos
f'(6)=6^{\cos(30)-1}\left(\cos(30)-30\ln(6)\,\sin(30)\right).

Passo 8

Comparando com as opções fornecidas, vemos que a alternativa (a) é justamente
6^{\cos(30)-1}\big(\cos(30)-30\ln(6)\,\operatorname{sen}(30)\big),
que coincide com a expressão que encontramos (lembrando que \operatorname{sen}(30)=\sin(30)).

Resposta

(a)

Exercícios relacionados