(1,0) Resolva o problema de valor inicial y^{\prime \prime}+y=2 t, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=1 por Coeficientes a determinar.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial abaixo e pede a sua solução:
y'' + y = 2t,\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=1.
Informações relevantes:
  • Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • A função do lado direito é o polinômio \,2t.
  • Precisamos determinar a solução que satisfaz as condições iniciais em t=0.
  • O enunciado indica o método a ser usado: coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados).

Passo 2

Começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
y_h'' + y_h = 0.
Para resolver essa homogênea, montamos a equação característica substituindo y_h(t)=e^{rt}:
r^2 + 1 = 0.
Resolvendo,
r^2 = -1 \implies r = \pm i.
Quando as raízes da característica são r=\pm i, a solução geral da homogênea escreve-se em termos de cosseno e seno:
y_h(t) = C_1\cos t + C_2\sin t,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (surgem da combinação linear das soluções fundamentais \cos t e \sin t). Aqui \cos t e \sin t correspondem às partes reais e imaginárias de e^{it}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p(t) da equação completa
y'' + y = 2t.
Regra do método dos coeficientes indeterminados: quando o termo do lado direito é um polinômio de grau n, tentamos um polinômio do mesmo grau com coeficientes indeterminados, a menos que alguma parte desse palpite pertença à solução homogênea (caso de ressonância). Aqui o lado direito é um polinômio de grau 1 ( 2t), e a solução homogênea é feita de \cos t e \sin t (funções trigonométricas), ou seja, não há ressonância com polinômios. Portanto assumimos:
y_p(t) = at + b,
onde a e b são coeficientes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p'(t) = a,\qquad y_p''(t) = 0.
Substituímos na equação diferencial:
y_p'' + y_p = 0 + (at + b) = at + b.
Essa soma deve ser igual ao lado direito 2t. Igualando termos semelhantes (coeficientes de t e termos constantes),
at + b = 2t + 0 \implies a = 2,\quad b = 0.
Portanto a solução particular é
y_p(t) = 2t.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1\cos t + C_2\sin t + 2t.
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.

Passo 6

Usamos y(0)=2. Avaliando y(t) em t=0:
y(0) = C_1\cos 0 + C_2\sin 0 + 2\cdot 0 = C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 + 0 = C_1.
Como y(0)=2, segue
C_1 = 2.

Passo 7

Agora usamos y'(0)=1. Primeiro calculamos a derivada geral y'(t):
y'(t) = -C_1\sin t + C_2\cos t + 2.
Avaliando em t=0:
y'(0) = -C_1\sin 0 + C_2\cos 0 + 2 = -C_1\cdot 0 + C_2\cdot 1 + 2 = C_2 + 2.
Como y'(0)=1, obtemos
C_2 + 2 = 1 \implies C_2 = -1.

Passo 8

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
y(t) = 2\cos t - \sin t + 2t.
Dica rápida para a prova: quando o lado direito for um polinômio multiplicado por seno/cosseno ou expoencial, o palpite para y_p é o produto do polinômio por uma combinação de seno/cosseno ou por e^{\lambda t}; se a forma do palpite aparecer na solução homogênea, multiplique por t suficiente vezes até eliminar a ressonância. Você estava quase lá — respira e confia.

Resposta

y(t)=2\cos t-\sin t+2t

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