Resolva o problema de valor inicial
por Coeficientes a determinar.
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial abaixo e pede a sua solução:
Informações relevantes:
- Temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- A função do lado direito é o polinômio
. - Precisamos determinar a solução que satisfaz as condições iniciais em
. - O enunciado indica o método a ser usado: coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados).
Passo 2
Começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
Para resolver essa homogênea, montamos a equação característica substituindo
:
Resolvendo,
Quando as raízes da característica são
, a solução geral da homogênea escreve-se em termos de cosseno e seno:
onde
e
são constantes arbitrárias (surgem da combinação linear das soluções fundamentais
e
). Aqui
e
correspondem às partes reais e imaginárias de
.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa
Regra do método dos coeficientes indeterminados: quando o termo do lado direito é um polinômio de grau
, tentamos um polinômio do mesmo grau com coeficientes indeterminados, a menos que alguma parte desse palpite pertença à solução homogênea (caso de ressonância). Aqui o lado direito é um polinômio de grau
(
), e a solução homogênea é feita de
e
(funções trigonométricas), ou seja, não há ressonância com polinômios. Portanto assumimos:
onde
e
são coeficientes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação diferencial:
Essa soma deve ser igual ao lado direito
. Igualando termos semelhantes (coeficientes de
e termos constantes),
Portanto a solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 6
Usamos
. Avaliando
em
:
Como
, segue
Passo 7
Agora usamos
. Primeiro calculamos a derivada geral
:
Avaliando em
:
Como
, obtemos
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
Dica rápida para a prova: quando o lado direito for um polinômio multiplicado por seno/cosseno ou expoencial, o palpite para
é o produto do polinômio por uma combinação de seno/cosseno ou por
; se a forma do palpite aparecer na solução homogênea, multiplique por
suficiente vezes até eliminar a ressonância. Você estava quase lá — respira e confia.