Resolva cada EDO’s pelo método descrito em cada item:
(CAUCHY-EULER)
(CAUCHY-EULER)
Passo 1
Enunciado: resolver a EDO
O que se pede: encontrar a solução geral
dessa equação homogênea. Informações relevantes: é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que são potências de
— ou seja, é uma equação do tipo Cauchy–Euler. Vou considerar
para poder usar
sem ambiguidade.
Passo 2
Ideia do método Cauchy–Euler (motivo do palpite): em equações onde os coeficientes são
multiplicando
, costuma funcionar tentar uma solução do tipo
porque derivadas de
produzem potências de
que podem ser fatoradas, reduzindo a EDO a uma equação algébrica em
. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas de
:
Substituindo na EDO:
Agora fatoro
(positivo para
), ficando uma equação apenas em
:
Passo 4
Simplifico a equação característica:
Resolvendo a quadrática em
: o discriminante é
portanto há uma raiz dupla. A raiz é
Passo 5
O que fazer quando a raiz é dupla? Para uma equação de Euler com raiz dupla
da equação característica, as soluções independentes são
Motivação curta: fazendo a mudança de variável
transforma a EDO de Euler numa EDO de coeficientes constantes; uma raiz dupla em coeficientes constantes gera uma solução do tipo
, que volta para
ao voltar para
. Assim, com
obtemos as duas soluções lineares independentes.
Passo 6
Logo a solução geral é combinação linear das duas soluções independentes:
onde
são constantes arbitrárias reais (e estamos tomando
para usar
).