Resolva cada EDO’s pelo método descrito em cada item:
(CAUCHY-EULER) 4 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+8 x \frac{d y}{d x}+y=0

Passo 1

Enunciado: resolver a EDO
4 x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+8 x\frac{dy}{dx}+y=0.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) dessa equação homogênea. Informações relevantes: é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que são potências de x — ou seja, é uma equação do tipo Cauchy–Euler. Vou considerar x>0 para poder usar \ln x sem ambiguidade.

Passo 2

Ideia do método Cauchy–Euler (motivo do palpite): em equações onde os coeficientes são x^{2},x,1 multiplicando y'',y',y, costuma funcionar tentar uma solução do tipo
y=x^{m},
porque derivadas de x^{m} produzem potências de x que podem ser fatoradas, reduzindo a EDO a uma equação algébrica em m. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas de y=x^{m}:
\frac{dy}{dx}=m x^{m-1},\qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo na EDO:
4x^{2}\bigl(m(m-1)x^{m-2}\bigr)+8x\bigl(m x^{m-1}\bigr)+x^{m}=0.
Agora fatoro x^{m} (positivo para x>0), ficando uma equação apenas em m:
4m(m-1)+8m+1=0.

Passo 4

Simplifico a equação característica:
4m(m-1)+8m+1 = 4m^{2}-4m+8m+1 = 4m^{2}+4m+1 =0.
Resolvendo a quadrática em m: o discriminante é
\Delta = 4^{2}-4\cdot 4\cdot 1 = 16-16 = 0,
portanto há uma raiz dupla. A raiz é
m = -\frac{4}{2\cdot 4} = -\frac{1}{2}.

Passo 5

O que fazer quando a raiz é dupla? Para uma equação de Euler com raiz dupla m_{0} da equação característica, as soluções independentes são
y_{1}=x^{m_{0}},\qquad y_{2}=x^{m_{0}}\ln x.
Motivação curta: fazendo a mudança de variável t=\ln x transforma a EDO de Euler numa EDO de coeficientes constantes; uma raiz dupla em coeficientes constantes gera uma solução do tipo (A+Bt)e^{rt}, que volta para (A+B\ln x)x^{r} ao voltar para x. Assim, com m_{0}=-\tfrac{1}{2} obtemos as duas soluções lineares independentes.

Passo 6

Logo a solução geral é combinação linear das duas soluções independentes:
y(x)=C_{1}x^{-1/2}+C_{2}x^{-1/2}\ln x,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias reais (e estamos tomando x>0 para usar \ln x).

Resposta

y(x)=C_{1}x^{-1/2}+C_{2}x^{-1/2}\ln x

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