Derivando implicitamente a expressão 7 \operatorname{sen}(x y)-2 y+1=0 em relação a x obtemos que a derivada de y no ponto \left\{0, \frac{1}{2}\right\} é:
Escolha uma opção:
\bigcirc a. -\frac{5}{7}
\bigcirc b. 1
\bigcirc c. \frac{7}{2}
\bigcirc d. \mathbf{0}
\bigcirc e. \frac{7}{4}

Passo 1

O enunciado pede: derivar implicitamente a equação 7\operatorname{sen}(xy)-2y+1=0 em relação a x e depois calcular a derivada de y no ponto \left\{0,\frac{1}{2}\right\}.
Informações dadas relevantes:
\;7\operatorname{sen}(xy)-2y+1=0 (relação implícita entre x e y).
Ponto onde devemos avaliar a derivada: \left(x,y\right)=\left(0,\frac{1}{2}\right).

Passo 2

Explicando a técnica que vamos usar (passo a passo, sem pular etapas):
  1. Implicitamente significa que y depende de x: escrevemos y=y(x). Ao derivar cada termo em relação a x, usamos a regra da cadeia sempre que aparecer y (porque y é função de x).
  2. Regras que usaremos:
  • Derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a x é \cos(u)\cdot \dfrac{du}{dx}. Aqui u é uma função de x (regra da cadeia).
  • Derivada do produto x\cdot y(x) em relação a x usa a regra do produto: \dfrac{d}{dx}[x\cdot y(x)] = 1\cdot y(x) + x\cdot y'(x), porque a derivada de x é 1 e a derivada de y(x) é y'(x).
  • Derivada de uma constante é 0.
Vou aplicar essas regras termo a termo na próxima etapa.

Passo 3

Derivando termo a termo a equação \;7\operatorname{sen}(xy)-2y+1=0 em relação a x:
Derivada de 7\operatorname{sen}(xy):
\frac{d}{dx}\bigl[7\operatorname{sen}(xy)\bigr] = 7\cos(xy)\cdot\frac{d}{dx}[xy].
Agora aplicamos a regra do produto em \frac{d}{dx}[xy]:
\frac{d}{dx}[xy] = y + x y'.
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl[7\operatorname{sen}(xy)\bigr] = 7\cos(xy)\bigl(y + x y'\bigr).
Derivada de -2y:
\frac{d}{dx}[-2y] = -2y'.
Derivada de +1 é 0.
Somando as derivadas e igualando a 0 (derivada do lado direito):
7\cos(xy)\bigl(y + x y'\bigr) - 2y' + 0 = 0.

Passo 4

Isolando y' na equação obtida:
Começo expandindo:
7\cos(xy)\,y + 7\cos(xy)\,x\,y' - 2y' = 0.
Agrupo termos que têm y':
\bigl(7\cos(xy)\,x - 2\bigr) y' + 7\cos(xy)\,y = 0.
Isolo y':
\bigl(7\cos(xy)\,x - 2\bigr) y' = -7\cos(xy)\,y
y' = -\dfrac{7\cos(xy)\,y}{7\cos(xy)\,x - 2}.
Essa é a expressão geral de y' em função de x e y.

Passo 5

Agora avaliamos y' no ponto \left(x,y\right)=\left(0,\frac{1}{2}\right).
Calculo \cos(xy) no ponto:
\cos\bigl(0\cdot \tfrac{1}{2}\bigr)=\cos(0)=1.
Substituindo na fórmula:
numerador:
-7\cos(xy)\,y = -7\cdot 1 \cdot \tfrac{1}{2} = -\tfrac{7}{2}.
denominador:
7\cos(xy)\,x - 2 = 7\cdot 1 \cdot 0 - 2 = -2.
Portanto
y' = \frac{-\tfrac{7}{2}}{-2} = \left(-\tfrac{7}{2}\right)\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{7}{4}.

Resposta

\dfrac{7}{4}

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