Derivando implicitamente a expressão
em relação a
obtemos que a derivada de
no ponto
é:
Escolha uma opção:
a.
b. 1
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
Passo 1
O enunciado pede: derivar implicitamente a equação
em relação a
e depois calcular a derivada de
no ponto
.
Informações dadas relevantes:
(relação implícita entre
e
).
Ponto onde devemos avaliar a derivada: .
Informações dadas relevantes:
Ponto onde devemos avaliar a derivada:
Passo 2
Explicando a técnica que vamos usar (passo a passo, sem pular etapas):
-
Implicitamente significa que
depende de : escrevemos . Ao derivar cada termo em relação a , usamos a regra da cadeia sempre que aparecer (porque é função de ). -
Regras que usaremos:
- Derivada de
em relação a é . Aqui é uma função de (regra da cadeia). - Derivada do produto
em relação a usa a regra do produto: , porque a derivada de é e a derivada de é . - Derivada de uma constante é
.
Vou aplicar essas regras termo a termo na próxima etapa.
Passo 3
Derivando termo a termo a equação
em relação a
:
Derivada de
:
Agora aplicamos a regra do produto em
:
Portanto
Derivada de
:
Derivada de
é
.
Somando as derivadas e igualando a
(derivada do lado direito):
Passo 4
Isolando
na equação obtida:
Começo expandindo:
Agrupo termos que têm
:
Isolo
:
Essa é a expressão geral de
em função de
e
.
Passo 5
Agora avaliamos
no ponto
.
Calculo
no ponto:
Substituindo na fórmula:
numerador:
numerador:
denominador:
Portanto