Calcule a derivada de cos (5 x^3(sen(x))^2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=cosl(5x^3(sin x)^2r). O conteúdo principal é derivação de função composta (regra da cadeia) juntamente com regra do produto e derivada de potência e de seno.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, identifiquemos g(x)=5x^3(sin x)^2. Então
f'(x)= -sinl(g(x)r)cdot g'(x)

Passo 3

Precisamos agora calcular g'(x). Note que g(x)=5,h(x), com h(x)=x^3(sin x)^2. Logo
g'(x)=5,h'(x)

Passo 4

Para achar h'(x), usamos a regra do produto em h(x)=x^3cdot(sin x)^2:
h'(x)=3x^2,(sin x)^2 + x^3cdot2sin xcos x

Passo 5

Portanto
g'(x)=5l(3x^2(sin x)^2 + 2x^3sin xcos xr)=15x^2(sin x)^2 +10x^3sin xcos x

Passo 6

Substituindo em f'(x), temos
f'(x)=-l(15x^2(sin x)^2 +10x^3sin xcos xr);sinl(5x^3(sin x)^2r)

Resposta

f’(x) = -\bigl(15x^2(\sin x)^2 +10x^3\sin x\cos x\bigr);\sin\bigl(5x^3(\sin x)^2\bigr).

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