Uma função f derivável em todos os pontos é tal que f^prime(x) <= 3 para todo x. Sabendo que f(1)=2, é possível que f(3)=10?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função derivável em todo ,\mathbb{R}, com f'(x) <= 3 para todo x, e sabemos que f(1)=2. A pergunta é se pode ocorrer f(3)=10. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Médio (TVM) e vamos precisar dele.

Passo 2

Pelo Teorema do Valor Médio, existe c em (1,3) tal que
f(3)-f(1)3-1=f'(c)<=3
Substituindo f(1)=2 e simplificando, temos
f(3)-22<=3
Multiplicando ambos os lados por 2:
$$
f(3)-2\le6 f(3)-2<=6
f(3)\le8$$

Passo 3

Como 10 é maior que 8, não é possível ter f(3)=10 sem violar o limite dado para f'(x).

Resposta

Não, não é possível pois o Teorema do Valor Médio implica f(3)<=8<10.

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