Uma função
derivável em todos os pontos é tal que
para todo
. Sabendo que
, é possível que
?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função derivável em todo ,\mathbb{R}, com
para todo
, e sabemos que
. A pergunta é se pode ocorrer
. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Médio (TVM) e vamos precisar dele.
Passo 2
Pelo Teorema do Valor Médio, existe
em
tal que
Substituindo
Multiplicando ambos os lados por 2:
$$
f(3)-2\le6
f(3)\le8$$
Passo 3
Como 10 é maior que 8, não é possível ter
sem violar o limite dado para
.
Resposta
Não, não é possível pois o Teorema do Valor Médio implica
.