Considere f(x)=a x^2+1x-1. Sabendo que a reta r(x)=4 x+2 é assíntota de f em +infty, determine a.

Passo 1

Temos a função racional f(x)=a x^2+1x-1 e queremos que a reta r(x)=4x+2 seja assíntota oblíqua de f em +infty. O conteúdo principal é o de funções racionais e assíntotas oblíquas; vamos precisar fazer divisão de polinômios e usar a definição de assíntota oblíqua.

Passo 2

Vamos dividir o polinômio do numerador pelo denominador para encontrar a forma de quociente mais resto. Dividindo a x^2+1 por x-1 obtemos o quociente a x + a e resto a+1, isto é:
a x^2+1x-1=a x + a + a+1x-1
Da divisão vimos que, à medida que xto+infty, o termo (a+1)/(x-1) tende a zero, de modo que a assíntota oblíqua é a reta
$$
y=a x + a$$
Para que esta reta seja y=a x + a, precisamos ter simultaneamente os coeficientes iguais: r(x)=4x+2 (coeficiente angular) e a=4 (coeficiente linear). Mas isso leva a a=2, que é impossível.

Passo 3

Concluímos que não existe valor de a que faça r(x)=4x+2 ser assíntota oblíqua de f em +infty.

Resposta

Não existe valor de a que satisfaça a condição dada.

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