Calcule a derivada das curvas dadas a seguir: $(a) (a)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da curva vetorial F(t)=t^2+13t+2,i+e^t^2+1,j+2pi,k. O conteúdo principal aqui é derivação de funções vetoriais componente a componente, usando regra do quociente e regra da cadeia.

Passo 2

Para derivar a primeira componente f(t)=t^2+13t+2, aplicamos a regra do quociente: seja u(t)=t^2+1 e v(t)=3t+2. Temos
(uv)'=u'v - u v'v^2
Aqui u'(t)=2t e v'(t)=3, logo
$$
f’(t)=\frac{2t,(3t+2)-(t{2}+1),3}{(3t+2){2}}=\frac{6t{2}+4t-3t{2}-3}{(3t+2){2}}=\frac{3t{2}+4t-3}{(3t+2)^{2}}.
$$

Passo 3

Para derivar a segunda componente g(t)=e^t^2+1, usamos regra da cadeia: a derivada de e^h(t) é e^h(t)h'(t). Como h(t)=t^2+1 tem h'(t)=2t, obtemos
g'(t)=e^t^2+1cdot2t=2t,e^t^2+1

Passo 4

A terceira componente é constante 2pi, então sua derivada é zero.

Passo 5

Juntando tudo, a derivada vetorial é obtida componente a componente.

Resposta

F,'(t)=3t^2+4t-3(3t+2)^2,i+2t,e^t^2+1,j+0,k.

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