Sejam (an),(bn) e (cn) três sequências tais que an <= bn <= cn, (an) e (cn) convergindo para o mesmo limite L. Demonstre que (bn) também converge para L.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas três sequências an, bn e cn tais que an <= bn <= cn e sabendo que an e cn convergem para o mesmo limite L, então bn também converge para L. O conteúdo envolvido é o conceito de limite de sequência e o método de prova usando a definição varepsilon- N.

Passo 2

Primeiro, relembramos a definição de limite de sequência: dizer que an to L significa que, para todo varepsilon > 0, existe N1 tal que, sempre que n >= N1, vale |an - L| < varepsilon. Do mesmo modo, como cn to L, existe N2 tal que, para n >= N2, |cn - L| < varepsilon.

Passo 3

Agora usamos a desigualdade an <= bn <= cn. Subtraindo L de cada termo, obtemos
an - L <= bn - L <= cn - L
Para n >= max(N1, N2), temos
-varepsilon < an - L <= bn - L <= cn - L < varepsilon
Isso implica diretamente que
|bn - L| < varepsilon

Passo 4

Basta então definir N = max(N1, N2). Para esse N, sempre que n >= N temos tanto |an - L| < varepsilon quanto |cn - L| < varepsilon, e pela desigualdade encadeada acima garantimos |bn - L| < varepsilon.

Passo 5

Concluímos que, para todo varepsilon > 0, existe N de forma que n >= N implique |bn - L| < varepsilon. Isso mostra exatamente que bn to L.

Resposta

bn to L

Exercícios relacionados