Sejam
e
três sequências tais que
,
e
convergindo para o mesmo limite
. Demonstre que
também converge para
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas três sequências
,
e
tais que
e sabendo que
e
convergem para o mesmo limite
, então
também converge para
. O conteúdo envolvido é o conceito de limite de sequência e o método de prova usando a definição
-
.
Passo 2
Primeiro, relembramos a definição de limite de sequência: dizer que
significa que, para todo
, existe
tal que, sempre que
, vale
. Do mesmo modo, como
, existe
tal que, para
,
.
Passo 3
Agora usamos a desigualdade
. Subtraindo
de cada termo, obtemos
Para
, temos
Isso implica diretamente que
Passo 4
Basta então definir
. Para esse
, sempre que
temos tanto
quanto
, e pela desigualdade encadeada acima garantimos
.
Passo 5
Concluímos que, para todo
, existe
de forma que
implique
. Isso mostra exatamente que
.