Calcule da derivada pela definição:
; onde
Passo 1
O enunciado pede o valor de
, onde foi dada a função
Informações relevantes:
- A função
está definida em duas variáveis e . - O ponto onde devemos avaliar a derivada parcial é
. -
significa a derivada parcial de em relação à primeira variável (isto é, em relação a ).
Passo 2
Vou escrever a definição da derivada parcial em relação a
no ponto
. Pela definição de limite:
Aqui:
-
e são as coordenadas do ponto onde avaliamos (no nosso caso e ); -
é um incremento pequeno em (aproxima-se de zero); -
é a função avaliada no ponto em que só a coordenada foi deslocada por .
Passo 3
Aplicando a definição com
e
:
Agora vamos calcular
e
explicitamente.
Passo 4
Calcular
. Substituindo
e
em
:
Expandimos passo a passo:
portanto
E
Passo 5
Somando os termos obtidos:
Também avaliamos
(é o caso
):
Passo 6
Formamos a diferença do quociente da definição:
Simplificando (dividindo numerador e denominador por
, válido para
):
Passo 7
Agora tomamos o limite quando
:
Ou seja, a derivada parcial em relação a
no ponto
é
.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, para fixar a ideia): podemos calcular a derivada parcial por diferenciação direta da expressão de
. A derivada parcial geral em relação a
é
Avaliando em
:
confirmando o resultado obtido pela definição.