Calcule da derivada pela definição:
f_{1}(-1,2); onde f(x, y)=-7 x^{2}+8 x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede o valor de f_{1}(-1,2), onde foi dada a função
f(x,y) = -7x^{2} + 8x y^{2}.
Informações relevantes:
  • A função f está definida em duas variáveis x e y.
  • O ponto onde devemos avaliar a derivada parcial é (-1,2).
  • f_{1} significa a derivada parcial de f em relação à primeira variável (isto é, em relação a x).

Passo 2

Vou escrever a definição da derivada parcial em relação a x no ponto (a,b). Pela definição de limite:
f_{1}(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}.
Aqui:
  • a e b são as coordenadas do ponto onde avaliamos (no nosso caso a=-1 e b=2);
  • h é um incremento pequeno em x (aproxima-se de zero);
  • f(a+h,b) é a função avaliada no ponto em que só a coordenada x foi deslocada por h.

Passo 3

Aplicando a definição com a=-1 e b=2:
f_{1}(-1,2)=\lim_{h\to 0}\frac{f(-1+h,2)-f(-1,2)}{h}.
Agora vamos calcular f(-1+h,2) e f(-1,2) explicitamente.

Passo 4

Calcular f(-1+h,2). Substituindo x=-1+h e y=2 em f(x,y)=-7x^{2}+8x y^{2}:
f(-1+h,2) = -7(-1+h)^{2} + 8(-1+h)\cdot 2^{2}.
Expandimos passo a passo:
(-1+h)^{2} = 1 - 2h + h^{2},
portanto
-7(-1+h)^{2} = -7(1 - 2h + h^{2}) = -7 + 14h -7h^{2}.
E
8(-1+h)\cdot 2^{2} = 8(-1+h)\cdot 4 = 32(-1+h) = -32 + 32h.

Passo 5

Somando os termos obtidos:
f(-1+h,2) = (-7 + 14h -7h^{2}) + (-32 + 32h) = -39 + 46h -7h^{2}.
Também avaliamos f(-1,2) (é o caso h=0):
f(-1,2) = -39.

Passo 6

Formamos a diferença do quociente da definição:
\frac{f(-1+h,2)-f(-1,2)}{h} = \frac{(-39 + 46h -7h^{2}) - (-39)}{h} = \frac{46h -7h^{2}}{h}.
Simplificando (dividindo numerador e denominador por h, válido para h\neq 0):
\frac{46h -7h^{2}}{h} = 46 - 7h.

Passo 7

Agora tomamos o limite quando h\to 0:
f_{1}(-1,2)=\lim_{h\to 0}(46 - 7h) = 46.
Ou seja, a derivada parcial em relação a x no ponto (-1,2) é 46.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, para fixar a ideia): podemos calcular a derivada parcial por diferenciação direta da expressão de f. A derivada parcial geral em relação a x é
f_{1}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-7x^{2}+8x y^{2}\bigr) = -14x + 8y^{2}.
Avaliando em (-1,2):
f_{1}(-1,2) = -14(-1) + 8\cdot 2^{2} = 14 + 32 = 46,
confirmando o resultado obtido pela definição.

Resposta

46

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