Calcule da derivada pela definição:
; onde
Passo 1
O enunciado dá a função e pede a derivada parcial em relação a
:
- Função:
. - Pedido: calcular
(a derivada parcial de em relação a ), usando a definição.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função é explícita em
e . - A derivada parcial em
significa que varia e fica fixo durante o cálculo.
Passo 2
Escrevemos a definição de derivada parcial em
. Por definição:
Explicação didática: aqui
é um pequeno incremento em
. Mantém‑se
fixo (não adicionamos nada a
). A expressão dentro do limite é a variação média de
quando
aumenta de
para
; o limite quando
dá a taxa instantânea de variação em
.
Passo 3
Calcule
substituindo
por
na expressão de
:
Agora simplificar:
Passo 4
Escreva a diferença no numerador da definição:
Agora observamos os termos que se cancelam:
cancela com
,
cancela com
e
cancela com
. O que sobra é
Passo 5
Divida pelo
(para
) e calcule o limite:
Como essa expressão é constante (não depende de
quando
), o limite quando
é simplesmente
:
Comentário didático: o limite de uma constante é a própria constante; por isso não há dificuldades com o passo do limite aqui.
Passo 6
Interpretação e dica prática: a derivada parcial em
de uma função linear do tipo
é simplesmente o coeficiente
. No nosso caso, o coeficiente de
é
, o que confirma o resultado obtido pela definição. Força aí — quando a função for linear, basta olhar o coeficiente de
para a derivada parcial em
.