Calcule da derivada pela definição:
f_{x}(x, y); onde f(x, y)=8 x-2 y+13

Passo 1

O enunciado dá a função e pede a derivada parcial em relação a x:
  • Função: f(x,y)=8x-2y+13.
  • Pedido: calcular f_{x}(x,y) (a derivada parcial de f em relação a x), usando a definição.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função é explícita em x e y.
  • A derivada parcial em x significa que x varia e y fica fixo durante o cálculo.

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada parcial em x. Por definição:
f_{x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Explicação didática: aqui h é um pequeno incremento em x. Mantém‑se y fixo (não adicionamos nada a y). A expressão dentro do limite é a variação média de f quando x aumenta de x para x+h; o limite quando h\to0 dá a taxa instantânea de variação em x.

Passo 3

Calcule f(x+h,y) substituindo x por x+h na expressão de f:
f(x+h,y)=8(x+h)-2y+13.
Agora simplificar:
f(x+h,y)=8x+8h-2y+13.

Passo 4

Escreva a diferença no numerador da definição:
f(x+h,y)-f(x,y)=(8x+8h-2y+13)-(8x-2y+13).
Agora observamos os termos que se cancelam: 8x cancela com 8x, -2y cancela com -2y e +13 cancela com +13. O que sobra é
f(x+h,y)-f(x,y)=8h.

Passo 5

Divida pelo h (para h\neq0) e calcule o limite:
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{8h}{h}=8.
Como essa expressão é constante (não depende de h quando h\neq0), o limite quando h\to0 é simplesmente 8:
\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=8.
Comentário didático: o limite de uma constante é a própria constante; por isso não há dificuldades com o passo do limite aqui.

Passo 6

Interpretação e dica prática: a derivada parcial em x de uma função linear do tipo ax+by+c é simplesmente o coeficiente a. No nosso caso, o coeficiente de x é 8, o que confirma o resultado obtido pela definição. Força aí — quando a função for linear, basta olhar o coeficiente de x para a derivada parcial em x.

Resposta

f_{x}(x,y)=8

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