Encontre a derivada parcial usando a regra da cadeia:
; onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial
da função
Informações dadas:
- A função
depende de três variáveis , e . - A expressão interna é
. - A potência externa é
.
O que se pede: encontrar a expressão de.
Passo 2
Idéia-chave (regra da cadeia, explicada de forma simples).
Se e
, então a derivada parcial em relação a
é dada por
Se
Aqui é útil identificar:
Explicação da derivada do expoente: para
vale
. No nosso caso
, então
Passo 3
Calcular
.
Como , ao derivar parcialmente em relação a
tratamos
e
como constantes. Assim
Como
Expliquei: a derivada de
é
;
e
são constantes quando derivamos em
.
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia juntando
e
:
Simplificando o fator
que aparece no numerador e no denominador:
Passo 5
Substituir de volta
para obter a resposta final em termos de
:
Observação rápida (útil na prova): essa expressão está bem definida para todos os pontos com
. No ponto
a função original não é diferenciável porque a base fica zero e a potência negativa diverge.