Encontre a derivada parcial usando a regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial x}; onde w=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3 / 2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial \dfrac{\partial w}{\partial x} da função
w=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3/2}.
Informações dadas:
  • A função w depende de três variáveis x, y e z.
  • A expressão interna é x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • A potência externa é -\tfrac{3}{2}.
    O que se pede: encontrar a expressão de \dfrac{\partial w}{\partial x}.

Passo 2

Idéia-chave (regra da cadeia, explicada de forma simples).
Se w=f(u) e u=g(x,y,z), então a derivada parcial em relação a x é dada por
\frac{\partial w}{\partial x}=f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui é útil identificar:
u=x^{2}+y^{2}+z^{2}, \qquad w=u^{-3/2}.
Explicação da derivada do expoente: para f(u)=u^{n} vale f'(u)=n\,u^{n-1}. No nosso caso n=-\tfrac{3}{2}, então
f'(u)=-\tfrac{3}{2}\,u^{-5/2}.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x}.
Como u=x^{2}+y^{2}+z^{2}, ao derivar parcialmente em relação a x tratamos y e z como constantes. Assim
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(y^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(z^{2}\big)=2x+0+0=2x.
Expliquei: a derivada de x^{2} é 2x; y^{2} e z^{2} são constantes quando derivamos em x.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia juntando f'(u) e \dfrac{\partial u}{\partial x}:
\frac{\partial w}{\partial x}=f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =-\tfrac{3}{2}\,u^{-5/2}\cdot 2x.
Simplificando o fator 2 que aparece no numerador e no denominador:
\frac{\partial w}{\partial x}=-3x\,u^{-5/2}.

Passo 5

Substituir de volta u=x^{2}+y^{2}+z^{2} para obter a resposta final em termos de x,y,z:
\frac{\partial w}{\partial x}=-3x\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-5/2}.
Observação rápida (útil na prova): essa expressão está bem definida para todos os pontos com \left(x,y,z\right)\neq(0,0,0). No ponto (0,0,0) a função original não é diferenciável porque a base fica zero e a potência negativa diverge.

Resposta

\frac{\partial w}{\partial x}=-3x\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-5/2}

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