Encontre a derivada parcial usando a regra da cadeia:
h_{x}(x, y); onde h(x, y)=\tan ^{-1}(x y)

Passo 1

O enunciado fornece a função h(x,y)=\tan^{-1}(x y) e pede para encontrar a derivada parcial de h em relação a x, isto é h_{x}(x,y).
Informações relevantes:
  • A função é dada por h(x,y)=\tan^{-1}(x y).
  • As variáveis livres são x e y.
  • Deve-se tratar y como constante ao diferenciar em relação a x.
  • Objetivo: calcular h_{x}(x,y).

Passo 2

Vamos reescrever h como composição de duas funções, para aplicar a regra da cadeia. Defina
u(x,y)=x y
e
f(u)=\tan^{-1}(u).
Assim
h(x,y)=f(u(x,y)).
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, quando h(x,y)=f(u(x,y)),
h_{x}(x,y)=f'(u(x,y))\cdot u_{x}(x,y).
Aqui f'(u) é a derivada da função externa em relação a u e u_{x} é a derivada parcial de u em relação a x.

Passo 3

Calcule a derivada da função externa f(u)=\tan^{-1}(u). Conhecemos a derivada de \tan^{-1}:
f'(u)=\frac{d}{du}\big(\tan^{-1}(u)\big)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Explicando: a derivada de \tan^{-1}(u) é \dfrac{1}{1+u^{2}} porque essa é uma fórmula padrão (pode ser derivada usando derivada inversa da tangente ou identidade trigonométrica), e vale para todo u real.

Passo 4

Agora calcule u_{x}(x,y) para u(x,y)=x y. Ao derivar em relação a x mantendo y constante, tem-se:
u_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x y)=y.
Uma maneira rápida de ver isso é usar a regra do produto: \dfrac{\partial}{\partial x}(x y)=x\cdot \dfrac{\partial y}{\partial x}+y\cdot \dfrac{\partial x}{\partial x}=x\cdot 0 + y\cdot 1=y.

Passo 5

Combine as duas partes pela regra da cadeia:
h_{x}(x,y)=f'(u(x,y))\cdot u_{x}(x,y)=\frac{1}{1+u(x,y)^{2}}\cdot y.
Substituindo u(x,y)=x y obtemos
h_{x}(x,y)=\frac{y}{1+(x y)^{2}}.
Podemos também escrever a forma equivalente
h_{x}(x,y)=\frac{y}{1+x^{2}y^{2}}.

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para fixar): se x=1 e y=2, então
h_{x}(1,2)=\frac{2}{1+(1\cdot 2)^{2}}=\frac{2}{1+4}=\frac{2}{5}.
Isso mostra como avaliar a expressão final em um ponto concreto.

Resposta

\;h_{x}(x,y)=\dfrac{y}{1+x^{2}y^{2}}\;

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