Encontre a derivada parcial usando a regra da cadeia:
; onde
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para encontrar a derivada parcial de
em relação a
, isto é
.
Informações relevantes:
- A função é dada por
. - As variáveis livres são
e . - Deve-se tratar
como constante ao diferenciar em relação a . - Objetivo: calcular
.
Passo 2
Vamos reescrever
como composição de duas funções, para aplicar a regra da cadeia. Defina
e
Assim
A regra da cadeia para derivadas parciais diz que, quando
,
Aqui
é a derivada da função externa em relação a
e
é a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Calcule a derivada da função externa
. Conhecemos a derivada de
:
Explicando: a derivada de
é
porque essa é uma fórmula padrão (pode ser derivada usando derivada inversa da tangente ou identidade trigonométrica), e vale para todo
real.
Passo 4
Agora calcule
para
. Ao derivar em relação a
mantendo
constante, tem-se:
Uma maneira rápida de ver isso é usar a regra do produto:
.
Passo 5
Combine as duas partes pela regra da cadeia:
Substituindo
obtemos
Podemos também escrever a forma equivalente
Passo 6
Exemplo numérico rápido (para fixar): se
e
, então
Isso mostra como avaliar a expressão final em um ponto concreto.