Encontre a derivada parcial usando a regra da cadeia:
g_{3}(x, y, z); onde g(x, y, z)=x z^{2} e^{x y} \cos (y z)

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial em relação à terceira variável, isto é g_{3}(x,y,z)=\dfrac{\partial g}{\partial z}(x,y,z). A função dada é
g(x,y,z)=x z^{2} e^{x y} \cos(y z).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A variável em que vamos derivar é z.
  • As variáveis x e y devem ser tratadas como constantes durante a diferenciação em relação a z.
  • A função é um produto de fatores que dependem de z e de fatores que não dependem de z.

Passo 2

Lembrete das ferramentas que vamos usar (explicação didática):
  • Regra do produto (para derivar produto de duas funções de z): se h(z)=u(z)v(z) então
h'(z)=u'(z)v(z)+u(z)v'(z).
Isto significa: derivar uma vez o primeiro fator mantendo o segundo, mais manter o primeiro e derivar o segundo.
  • Regra da cadeia (para composição): se F(z)=H(U(z)) então
F'(z)=H'(U(z))\cdot U'(z).
No nosso caso aparecerá ao derivar \cos(yz), pois \cos é aplicada ao argumento U(z)=yz: derivada de \cos é -\sin, e depois multiplicamos por U'(z).

Passo 3

Reescrevo a função destacando os fatores que são constantes quando diferenciamos em relação a z:
g(x,y,z)=\bigl(x e^{x y}\bigr)\cdot\bigl(z^{2}\cos(yz)\bigr).
Aqui \bigl(x e^{x y}\bigr) é constante em relação a z. Portanto
\frac{\partial g}{\partial z}(x,y,z)=x e^{x y}\cdot\frac{d}{dz}\bigl(z^{2}\cos(yz)\bigr).

Passo 4

Agora aplico a regra do produto para \dfrac{d}{dz}\bigl(z^{2}\cos(yz)\bigr). Tome u(z)=z^{2} e v(z)=\cos(yz). Então
\frac{d}{dz}\bigl(z^{2}\cos(yz)\bigr)=\frac{d}{dz}\bigl(z^{2}\bigr)\cdot\cos(yz)+z^{2}\cdot\frac{d}{dz}\bigl(\cos(yz)\bigr).
Calculo cada pedaço:
  • \dfrac{d}{dz}\bigl(z^{2}\bigr)=2z.
  • Para \dfrac{d}{dz}\bigl(\cos(yz)\bigr) uso a regra da cadeia: a derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u), e u(yz)=yz tem derivada u'(z)=y. Logo
\frac{d}{dz}\bigl(\cos(yz)\bigr)=-\sin(yz)\cdot y=-y\sin(yz).
Substituindo:
\frac{d}{dz}\bigl(z^{2}\cos(yz)\bigr)=2z\cos(yz)+z^{2}\bigl(-y\sin(yz)\bigr)=2z\cos(yz)-y z^{2}\sin(yz).

Passo 5

Multiplicando pelo fator constante x e^{xy} obtém-se a derivada parcial buscada:
\frac{\partial g}{\partial z}(x,y,z)=x e^{x y}\bigl(2z\cos(yz)-y z^{2}\sin(yz)\bigr).
Podemos factorar z para uma forma alternativa mais compacta:
\frac{\partial g}{\partial z}(x,y,z)=x z e^{x y}\bigl(2\cos(yz)-y z\sin(yz)\bigr).

Passo 6

Verificação rápida (checagem): tome y=0. Então \cos(0)=1 e \sin(0)=0. A expressão torna-se
\frac{\partial g}{\partial z}(x,0,z)=x e^{0}\bigl(2z\cdot1-0\bigr)=2xz,
que coincide com a derivada de g(x,0,z)=x z^{2}, que é 2xz. Boa sinal de que a conta está consistente. Força aí — está certinho!

Resposta

\frac{\partial g}{\partial z}(x,y,z)=x e^{x y}\bigl(2z\cos(yz)-y z^{2}\sin(yz)\bigr)

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