Encontre a derivada parcial usando a regra da cadeia:
; onde
Passo 1
O enunciado pede a derivada parcial em relação à terceira variável, isto é
. A função dada é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A variável em que vamos derivar é
. - As variáveis
e devem ser tratadas como constantes durante a diferenciação em relação a . - A função é um produto de fatores que dependem de
e de fatores que não dependem de .
Passo 2
Lembrete das ferramentas que vamos usar (explicação didática):
- Regra do produto (para derivar produto de duas funções de
): se então
Isto significa: derivar uma vez o primeiro fator mantendo o segundo, mais manter o primeiro e derivar o segundo.
- Regra da cadeia (para composição): se
então
No nosso caso aparecerá ao derivar
, pois
é aplicada ao argumento
: derivada de
é
, e depois multiplicamos por
.
Passo 3
Reescrevo a função destacando os fatores que são constantes quando diferenciamos em relação a
:
Aqui
é constante em relação a
. Portanto
Passo 4
Agora aplico a regra do produto para
. Tome
e
. Então
Calculo cada pedaço:
-
. - Para
uso a regra da cadeia: a derivada de em relação a é , e tem derivada . Logo
Substituindo:
Passo 5
Multiplicando pelo fator constante
obtém-se a derivada parcial buscada:
Podemos factorar
para uma forma alternativa mais compacta:
Passo 6
Verificação rápida (checagem): tome
. Então
e
. A expressão torna-se
que coincide com a derivada de
, que é
. Boa sinal de que a conta está consistente. Força aí — está certinho!