Calcule a derivada direcional de f(x, y)=x^2 y-x+y^2+7 no ponto (x0, y0)=(-2,1) na direção do vetor u=(35,-45).
© nablau f(-2,1)=95.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^2y - x + y^2 + 7 no ponto (-2,1) na direção do vetor unitário vec u = (tfrac35,-tfrac45). Vamos usar o conceito de derivada direcional: nablavec uf(P)=nabla f(P)cdot vec u.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y)=2xy-1, partial fpartial y(x,y)=x^2+2y

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (-2,1):
partial fpartial x(-2,1)=2cdot(-2)cdot1-1=-5, partial fpartial y(-2,1)=(-2)^2+2cdot1=6
Portanto,
nabla f(-2,1)=(-5,6).

Passo 4

Como vec u=(tfrac35,-tfrac45) já é unitário, fazemos o produto escalar:
nablavec uf(-2,1)=(-5,6)cdotl(tfrac35,-tfrac45r) =-5cdottfrac35+6cdotl(-tfrac45r) =-3-tfrac245 =-tfrac395

Resposta

-39/5

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