Calcule a derivada direcional de f(x, y)=x^2 y-x+y^2+7 no ponto (x0, y0)=(-2,1) na direção do vetor u=(35,-45).
(A) nablau f(-2,1)=395.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada direcional da função $ f(x, y) = x^{2} y - x + y^{2} + 7 $ no ponto f(x, y) = x^2 y - x + y^2 + 7 na direção do vetor (-2, 1). A derivada direcional nos mostra a taxa de variação da função naquela direção específica. Para isso, vamos precisar do gradiente da função e do vetor de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Ou seja:
f(x, y)

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x = 2xy - 1
partial fpartial y = x^2 + 2y
Portanto, o gradiente fica:
nabla f(x, y) = ( 2xy - 1, x^2 + 2y )

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (-2, 1):
nabla f(-2, 1) = ( 2(-2)(1) - 1, (-2)^2 + 2(1) ) = ( -4 - 1, 4 + 2 ) = (-5, 6)

Passo 5

A derivada direcional $ \nabla_{u} f(-2,1) $ é o produto escalar do gradiente avaliado no ponto com o vetor de direção $ \vec{u} $. Como $ \vec{u} $ já é um vetor unitário, não precisamos normalizá-lo.
nablau f(-2,1)

Resposta

nablau f(-2,1) = 395

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