Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
(A)
.
(A)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada direcional da função $ f(x, y) = x^{2} y - x + y^{2} + 7 $ no ponto
na direção do vetor
. A derivada direcional nos mostra a taxa de variação da função naquela direção específica. Para isso, vamos precisar do gradiente da função e do vetor de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Ou seja:
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
A derivada direcional $ \nabla_{u} f(-2,1) $ é o produto escalar do gradiente avaliado no ponto com o vetor de direção $ \vec{u} $. Como $ \vec{u} $ já é um vetor unitário, não precisamos normalizá-lo.