Calcule a derivada direcional de f(x, y)=x^2 y-x+y^2+7 no ponto (x0, y0)=(-2,1) na direção do vetor u=(35,-45).
(B) nablau f(-2,1)=-395.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional da função f(x,y)=x^2y - x + y^2 + 7 no ponto (x0,y0)=(-2,1) na direção do vetor unitário u=(tfrac35,-tfrac45). O conteúdo envolvido é derivada direcional, que usamos via gradiente e produto escalar.

Passo 2

Para usar derivada direcional, precisamos primeiro achar o gradiente de f. Calculamos as derivadas parciais: fx=partialpartial x(x^2y - x + y^2 +7)=2xy - 1 e fy=partialpartial y(x^2y - x + y^2 +7)=x^2 + 2y.

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto (-2,1). Temos fx(-2,1)=2cdot(-2)cdot1 -1=-4 -1=-5 e fy(-2,1)=(-2)^2 + 2cdot1=4 +2=6. Logo, nabla f(-2,1)=(-5,,6).

Passo 4

Finalmente, a derivada direcional na direção de u é o produto escalar nabla f(-2,1)cdotu. Fazendo o cálculo: (-5,6)cdot(tfrac35,-tfrac45)= -5cdottfrac35 +6cdot(-tfrac45)= -tfrac155 - tfrac245= -tfrac395.

Resposta

-\nfrac{39}{5}

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