Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
(E)
.
(E)
Passo 1
A questão pede a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor unitário
. O conteúdo aqui é gradiente e derivada direcional, e vamos precisar calcular as derivadas parciais de
, montar o gradiente e então fazer o produto escalar com
.
Passo 2
Para encontrar o gradiente, calculamos as derivadas parciais de
:
e
.
Passo 3
Agora avaliamos essas derivadas no ponto
:
,
.
Passo 4
O gradiente no ponto é
$$\nabla f(-2,1)=\bigl(,-5,6\bigr).
$$
Passo 5
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar de
com
:
$$\nabla_{\vec u}f(-2,1)=(-5,6)\cdot\Bigl(\tfrac35,-\tfrac45\Bigr)=-5\cdot\tfrac35+6\cdot\bigl(-\tfrac45\bigr)=-3-\tfrac{24}{5}=-\tfrac{39}{5}.
$$