Calcule a derivada direcional de f(x, y)=x^2 y-x+y^2+7 no ponto (x0, y0)=(-2,1) na direção do vetor u=(35,-45).
(E) nablau f(-2,1)=-95.

Passo 1

A questão pede a derivada direcional da função f(x,y)=x^2y - x + y^2 +7 no ponto (-2,1) na direção do vetor unitário vec u=(3/5,-4/5). O conteúdo aqui é gradiente e derivada direcional, e vamos precisar calcular as derivadas parciais de f, montar o gradiente e então fazer o produto escalar com vec u.

Passo 2

Para encontrar o gradiente, calculamos as derivadas parciais de f(x,y):
partial fpartial x=2xy-1 e partial fpartial y=x^2+2y.

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (-2,1):
partial fpartial x(-2,1)=2cdot(-2)cdot1-1=-4-1=-5,
partial fpartial y(-2,1)=(-2)^2+2cdot1=4+2=6.

Passo 4

O gradiente no ponto é
$$\nabla f(-2,1)=\bigl(,-5,6\bigr).
$$

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar de nabla f(-2,1) com vec u:
$$\nabla_{\vec u}f(-2,1)=(-5,6)\cdot\Bigl(\tfrac35,-\tfrac45\Bigr)=-5\cdot\tfrac35+6\cdot\bigl(-\tfrac45\bigr)=-3-\tfrac{24}{5}=-\tfrac{39}{5}.
$$

Resposta

-tfrac395

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