Seja f uma função que satisfaz f^prime(x)=-5 x f(x) e f(12)=2. Se g(x)=f(sen x), encontre g^prime(pi6). Use que cos (pi6)=raiz32, sen(pi6)=12.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f tal que f'(x)=-5x,f(x) e f(1/2)=2, e define g(x)=f(sin x). O objetivo é achar g'(pi/6). Vamos precisar resolver a equação diferencial de primeira ordem por separação de variáveis e depois usar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação f'(x)=-5x,f(x) por separação de variáveis. Separamos em dfracf'(x)f(x)=-5x e escrevemos a integral:
integral f'(x)f(x),dx = integral -5x,dx
Isso dá, no lado esquerdo, ln|f(x)| e, no direito, -5,x^22+C. Logo
ln|f(x)| = -5x^22 + C
Exponentiando, obtemos a forma geral
f(x) = A,e^-5x^22,onde A=e^C

Passo 3

Agora achamos a constante A usando f(1/2)=2. Substituindo x=1/2:
2 = A,e^-52l(tfrac12r)^2 = A,e^-58
Daí A=2e^5/8 e portanto
f(x)=2e^5/8,e^-5x^22=2e^58-5x^22

Passo 4

Para derivar g(x)=f(sin x) usamos a regra da cadeia:
g'(x)=f'(sin x)cdotddx(sin x)=f'(sin x)cos x
Agora avaliamos em x=pi/6. Sabemos que sin(pi/6)=1/2 e cos(pi/6)=raiz3/2. Além disso, como f'(x)=-5x f(x), temos
f'(1/2)=-5cdottfrac12,f(1/2)=-tfrac52cdot2=-5
Finalmente
g'(tfracpi6)=f'(1/2)cdotcos(tfracpi6) = -5cdotraiz32 = -5raiz32

Resposta

-\frac{5\sqrt{3}}{2}

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