Seja
uma função que satisfaz
e
. Se
, encontre
. Use que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
tal que
e
, e define
. O objetivo é achar
. Vamos precisar resolver a equação diferencial de primeira ordem por separação de variáveis e depois usar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação
por separação de variáveis. Separamos em
e escrevemos a integral:
Isso dá, no lado esquerdo,
e, no direito,
. Logo
Exponentiando, obtemos a forma geral
Passo 3
Agora achamos a constante
usando
. Substituindo
:
Daí
e portanto
Passo 4
Para derivar
usamos a regra da cadeia:
Agora avaliamos em
. Sabemos que
e
. Além disso, como
, temos
Finalmente
Resposta
-\frac{5\sqrt{3}}{2}