Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: e^{x-y}=\frac{x}{y} em (1,1)
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente à curva dada por e^{x-y}=\frac{x}{y} no ponto (1,1).
Informações fornecidas:
A curva é definida implicitamente pela igualdade e^{x-y}=\frac{x}{y}.
O ponto onde queremos a(s) tangente(s) é (1,1).
O que é pedido:
Determinar a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) à curva no ponto (1,1).
Passo 2
Primeiro passo clássico: tentar obter \dfrac{dy}{dx} por diferenciação implícita da equação e^{x-y}=\frac{x}{y}.
Vou diferenciar ambos os lados em relação a x. Lembrete rápido das regras que vou usar:
Derivada de e^{x-y} em relação a x é e^{x-y} multiplicada pela derivada do expoente (x-y), ou seja 1 - \dfrac{dy}{dx}.
Derivada de \dfrac{x}{y} pode ser feita como x\cdot y^{-1}; usando regra do produto e cadeia obtemos \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x}{y}\right)=\dfrac{1}{y} - \dfrac{x}{y^{2}}\dfrac{dy}{dx}.
Aplicando essas regras obtemos a igualdade das derivadas:
o que é uma forma indeterminada. Isso indica que a diferenciação direta não fornece uma inclinação única: o gradiente da função implícita \,F(x,y)=e^{x-y}-\dfrac{x}{y}\, em (1,1) é nulo, pois
Como ambos os parciais são zero, o teorema da função implícita não garante um único declive: a curva pode ter uma interseção singular aí (por exemplo, cruzamento de ramos) e pode existir mais de uma reta tangente. Preciso investigar o comportamento local da curva em torno de (1,1).
Passo 4
Para entender as possíveis tangentes, faço uma expansão em série (desenvolvimento em Taylor) da equação em torno de (1,1). Defina pequenas variações
u=x-1,\qquad v=y-1,
de modo que u e v são pequenos quando (x,y) está perto de (1,1). A equação vira
e^{u-v}=\frac{1+u}{1+v}.
Vou expandir ambos os lados até termos de ordem 2 (isso costuma ser suficiente para descobrir as direções lineares das tangentes).
Expansão do lado esquerdo (exponencial), até termos quadráticos:
Isso indica que, para pontos próximos a (1,1), a curva tem duas direções dominantes (dois ramos) dadas por
u-v=0\quad\text{ou}\quad u+v=0.
Voltando às variáveis originais x e y:
Se u-v=0 então x-1-(y-1)=0, ou seja \,y=x\,.
Se u+v=0 então x-1+(y-1)=0, ou seja \,y=2-x\,.
Essas duas retas passam por (1,1) e são as direções lineares que a curva segue localmente; portanto são as retas tangentes aos dois ramos da curva no ponto singular (1,1).
Uma forma alternativa (mais direta) de obter os coeficientes angulares é assumir uma relação linear v=m u (ou y-1=m(x-1)) e substituir na expansão para obter as possíveis constantes m. Fazendo isso na equação quadrática obtém-se (1-m^{2})u^{2}/2=0, logo m=\pm 1, que corresponde exatamente às retas y=x (slope +1) e y=2-x (slope -1).