Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
e^{x-y}=\frac{x}{y} em (1,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva dada por e^{x-y}=\frac{x}{y} no ponto (1,1).
Informações fornecidas:
  • A curva é definida implicitamente pela igualdade e^{x-y}=\frac{x}{y}.
  • O ponto onde queremos a(s) tangente(s) é (1,1).
O que é pedido:
  • Determinar a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) à curva no ponto (1,1).

Passo 2

Primeiro passo clássico: tentar obter \dfrac{dy}{dx} por diferenciação implícita da equação e^{x-y}=\frac{x}{y}.
Vou diferenciar ambos os lados em relação a x. Lembrete rápido das regras que vou usar:
  • Derivada de e^{x-y} em relação a x é e^{x-y} multiplicada pela derivada do expoente (x-y), ou seja 1 - \dfrac{dy}{dx}.
  • Derivada de \dfrac{x}{y} pode ser feita como x\cdot y^{-1}; usando regra do produto e cadeia obtemos \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x}{y}\right)=\dfrac{1}{y} - \dfrac{x}{y^{2}}\dfrac{dy}{dx}.
Aplicando essas regras obtemos a igualdade das derivadas:
e^{x-y}\left(1-\frac{dy}{dx}\right)=\frac{1}{y}-\frac{x}{y^{2}}\frac{dy}{dx}.
Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}. Reagrupando os termos com \dfrac{dy}{dx}:
-e^{x-y}\frac{dy}{dx}+\frac{x}{y^{2}}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y}-e^{x-y}.
Fatorando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}\left(-e^{x-y}+\frac{x}{y^{2}}\right)=\frac{1}{y}-e^{x-y}.
Portanto, em geral,
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{1}{y}-e^{x-y}}{-e^{x-y}+\dfrac{x}{y^{2}}}
ou, multiplicando numerador e denominador por -1,
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{x-y}-\dfrac{1}{y}}{e^{x-y}-\dfrac{x}{y^{2}}}.

Passo 3

Agora avaliamos \dfrac{dy}{dx} no ponto (1,1). Primeiro calcule e^{x-y} em (1,1):
e^{1-1}=e^{0}=1.
Substituindo em \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}\Big|_{(1,1)}=\frac{1-\dfrac{1}{1}}{1-\dfrac{1}{1^{2}}}=\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0},
o que é uma forma indeterminada. Isso indica que a diferenciação direta não fornece uma inclinação única: o gradiente da função implícita \,F(x,y)=e^{x-y}-\dfrac{x}{y}\, em (1,1) é nulo, pois
F_x(1,1)=e^{x-y}-\frac{1}{y}\Big|_{(1,1)}=1-1=0, \qquad F_y(1,1)=-e^{x-y}+\frac{x}{y^{2}}\Big|_{(1,1)}=-1+1=0.
Como ambos os parciais são zero, o teorema da função implícita não garante um único declive: a curva pode ter uma interseção singular aí (por exemplo, cruzamento de ramos) e pode existir mais de uma reta tangente. Preciso investigar o comportamento local da curva em torno de (1,1).

Passo 4

Para entender as possíveis tangentes, faço uma expansão em série (desenvolvimento em Taylor) da equação em torno de (1,1). Defina pequenas variações
u=x-1,\qquad v=y-1,
de modo que u e v são pequenos quando (x,y) está perto de (1,1). A equação vira
e^{u-v}=\frac{1+u}{1+v}.
Vou expandir ambos os lados até termos de ordem 2 (isso costuma ser suficiente para descobrir as direções lineares das tangentes).
Expansão do lado esquerdo (exponencial), até termos quadráticos:
e^{u-v}=1+(u-v)+\frac{(u-v)^{2}}{2}+o\big((u,v)^{2}\big).
Expansão do lado direito (fração), usando \dfrac{1+u}{1+v}=(1+u)(1-v+v^{2}+\cdots), até termos quadráticos:
\frac{1+u}{1+v}=1+u-v-uv+v^{2}+o\big((u,v)^{2}\big).
Agora subtraio o segundo do primeiro (a equação exige que a diferença seja zero):
e^{u-v}-\frac{1+u}{1+v} = \Big[1+(u-v)+\frac{(u-v)^{2}}{2}\Big] - \big[1+u-v-uv+v^{2}\big] + o\big((u,v)^{2}\big).
Os termos constantes 1 e os termos lineares (u-v) cancelam, ficando apenas termos quadráticos principais:
e^{u-v}-\frac{1+u}{1+v}=\frac{u^{2}-2uv+v^{2}}{2} -(-uv+v^{2}) + o\big((u,v)^{2}\big).
Calcule o que sobra:
\frac{u^{2}-2uv+v^{2}}{2} + uv - v^{2} = \frac{u^{2}-2uv+v^{2} + 2uv - 2v^{2}}{2} = \frac{u^{2}-v^{2}}{2}.
Portanto, até segunda ordem a equação se reduz a
\frac{u^{2}-v^{2}}{2}+o\big((u,v)^{2}\big)=0,
ou seja, no limite de pequenas variações
u^{2}-v^{2}\approx 0.

Passo 5

A relação aproximada u^{2}-v^{2}=0 fatoriza-se:
(u-v)(u+v)=0.
Isso indica que, para pontos próximos a (1,1), a curva tem duas direções dominantes (dois ramos) dadas por
u-v=0\quad\text{ou}\quad u+v=0.
Voltando às variáveis originais x e y:
  • Se u-v=0 então x-1-(y-1)=0, ou seja \,y=x\,.
  • Se u+v=0 então x-1+(y-1)=0, ou seja \,y=2-x\,.
Essas duas retas passam por (1,1) e são as direções lineares que a curva segue localmente; portanto são as retas tangentes aos dois ramos da curva no ponto singular (1,1).
Uma forma alternativa (mais direta) de obter os coeficientes angulares é assumir uma relação linear v=m u (ou y-1=m(x-1)) e substituir na expansão para obter as possíveis constantes m. Fazendo isso na equação quadrática obtém-se (1-m^{2})u^{2}/2=0, logo m=\pm 1, que corresponde exatamente às retas y=x (slope +1) e y=2-x (slope -1).

Resposta

y=x
y=2-x

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