Calcule a derivada direcional de f(x, y)=x^2+2 x y^2-y^2 na direção de u=(1,2), no ponto ( 1,1 ). Não esqueça de transformar u em um vetor unitário.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^2+2xy^2-y^2 na direção do vetor u=(1,2) no ponto (1,1). Para isso precisamos calcular o gradiente de f, transformar u em vetor unitário e então fazer o produto escalar.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Temos
partial fpartial x=2x+2y^2,
partial fpartial y=4xy-2y

Passo 3

Avaliar o gradiente em (1,1):
nabla f(1,1)=l(2cdot1+2cdot1^2,;4cdot1cdot1-2cdot1r)=(4,2)

Passo 4

Normalizar u. O módulo de u é
|u|=raiz1^2+2^2=raiz5,
logo o vetor unitário é
hat u=l(1raiz5,,2raiz5r)

Passo 5

A derivada direcional de f na direção de hat u no ponto (1,1) é
Dhat uf(1,1)=nabla f(1,1)cdothat u =4cdot1raiz5+2cdot2raiz5 =8raiz5

Resposta

8raiz5

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