O plano
14256 x+31680 y+51840 z=2566080
divide o elipsóide
x^2120^2+y^2108^2+z^266^2=1
em dois sólidos. Se V é o volume do menor deles, qual o valor de Vpi ?
square

Passo 1

O enunciado dá o elipsóide
x^2120^2+y^2108^2+z^266^2=1
e o plano
14256,x + 31680,y + 51840,z = 2566080
que o corta em dois sólidos. Queremos o volume V do menor deles e, por fim, calcular tfracVpi.
Para resolver, vamos usar:
1. uma transformação linear que leva o elipsóide na esfera unidade,
2. a fórmula do volume de um “spherical cap” em esfera de raio R,
3. o fator de escala de volume dado pelo determinante da transformação.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis
x = 120,u, y = 108,v, z = 66,w,
que leva o elipsóide na esfera
u^2+v^2+w^2=1
Na equação do plano substituímos e obtemos
14256,(120u) + 31680,(108v) + 51840,(66w) = 2566080
Isso é
1710720,u + 3421440,v + 3421440,w = 2566080
Dividindo por 1710720 resulta
u + 2v + 2w = tfrac32

Passo 3

Na esfera de raio R=1 o plano
u + 2v + 2w - tfrac32 = 0
tem vetor normal (1,2,2) de comprimento raiz1+4+4=3. A distância do centro (0,0,0) ao plano é
d = l|tfrac32r|3 = tfrac12
O “cap” menor tem altura
h = R - d = 1 - tfrac12 = tfrac12
A fórmula do volume do cap de altura h em esfera de raio R é
Vcap = pi,h^2(3R - h)3
Substituindo R=1 e h=tfrac12
Vcap = pi,(tfrac12)^2l(3cdot1 - tfrac12r)3 = pi cdot tfrac14 cdot tfrac523 = 5pi24

Passo 4

A transformação (u,v,w)mapsto(x,y,z) tem determinante
det = 120 times 108 times 66 = 855360,
logo escala volumes por esse fator. Assim o volume do “cap” no elipsóide é
V = 855360 times 5pi24 = l(855360cdottfrac524r)pi

Passo 5

Calculamos
85536024 = 35640,
portanto
V = 35640 times 5,pi = 178200,pi Longrightarrow Vpi = 178200

Resposta

178200

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