divide o elipsóide
em dois sólidos. Se é o volume do menor deles, qual o valor de ?
Passo 1
O enunciado dá o elipsóide
e o plano
que o corta em dois sólidos. Queremos o volume do menor deles e, por fim, calcular .
Para resolver, vamos usar: . uma transformação linear que leva o elipsóide na esfera unidade, . a fórmula do volume de um “spherical cap” em esfera de raio , . o fator de escala de volume dado pelo determinante da transformação.
Passo 2
Fazemos a mudança de variáveis
que leva o elipsóide na esfera
Na equação do plano substituímos e obtemos
Isso é
Dividindo por resulta
Passo 3
Na esfera de raio o plano
tem vetor normal de comprimento . A distância do centro ao plano é
O “cap” menor tem altura
h = R - d = 1 - tfrac12 = tfrac12
A fórmula do volume do cap de altura h em esfera de raio R é