Encontre as soluções gerais das equações de Euler - Cauchy nos problemas seguintes.
2 x^2 y^prime prime+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
2x^2y''+5y=0
Aqui o conteúdo é EDO de Euler–Cauchy, para a qual usamos a tentativa y=x^m.

Passo 2

Supondo
y=x^m,
temos
y' = m,x^m-1, y''=m(m-1),x^m-2

Passo 3

Substituindo em 2x^2y''+5y=0, vem
2x^2l(m(m-1)x^m-2r)+5,x^m=0
Longrightarrow x^ml(2m(m-1)+5r)=0
Como x^mneq0, o coeficiente deve anular:
2m(m-1)+5=0

Passo 4

Resolvendo
2m^2-2m+5=0
vem
m=2pmraiz(-2)^2-4cdot2cdot52cdot2 =2pmraiz-364 =2pm6i4 =1pm3i2

Passo 5

Para raízes complexas m=alphapm ibeta com alpha=tfrac12 e beta=tfrac32, a solução real geral é
y = x^alphal(C1cosl(betaln xr)+C2sinl(betaln xr)r) = x^1/2l(C1cosl(tfrac32ln xr)+C2sinl(tfrac32ln xr)r)

Resposta

boxedy(x)=x^1/2l(C1cosl(tfrac32ln xr)+C2sinl(tfrac32ln xr)r)

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