Calcule a derivada direcional de f(x, y)=x^2+x y+sin (x y) no ponto (1,0), segundo a direção dada pelo ângulo theta=pi / 3.

Passo 1

A função é f(x,y)=x²+xy+sin(xy), o ponto é (1,0) e a direção é dada pelo ângulo θ=π/3; o conteúdo é derivada direcional, que envolve calcular o gradiente de f e o vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Para derivada direcional, usamos a definição
Duf(x0,y0)=nabla f(x0,y0)cdotu
o que significa achar o gradiente de f no ponto e fazer o produto escalar com o vetor unitário da direção.

Passo 3

Precisamos do gradiente de f. Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x=2x+y+ycos(xy)
partial fpartial y=x+xcos(xy)

Passo 4

Avaliação do gradiente em (1,0):
partial fpartial x(1,0)=2cdot1+0+0cdotcos(0)=2
partial fpartial y(1,0)=1+1cdotcos(0)=2
Logo, nabla f(1,0)=(2,2).

Passo 5

O vetor unitário na direção θ=π/3 é
u=(costfracpi3,sintfracpi3)=(tfrac12,tfracraiz32) .

Passo 6

Fazendo o produto escalar:
Duf(1,0)= (2,2)cdot(tfrac12,tfracraiz32)=2cdottfrac12+2cdottfracraiz32=1+raiz3

Resposta

1+raiz3

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