Calcule
, onde
é delimitada por
e
Passo 1
O exercício pede para calcular o volume da região T (isto é, tomar f≡1) delimitada pelos cilindros x²+z²=a² e y²+z²=a². O conteúdo é o cálculo de volumes por integração em fatias e vamos usar simetria e integração em z.
Passo 2
Para um z fixo, as duas condições x²+z²≤a² e y²+z²≤a² dão |x|≤√(a²−z²) e |y|≤√(a²−z²). Logo, a seção transversal T∩{z=const} é um retângulo de lados 2√(a²−z²) em x e 2√(a²−z²) em y. A área dessa seção é A(z)=4(a²−z²).
Passo 3
Agora aplicamos a ideia de volume por fatias: integramos A(z) de z=−a até z=+a. Assim
Passo 4
Basta calcular a integral: