Calcule integral triplaT f d V, onde T é delimitada por x^2+z^2=a^2 e y^2+z^2=a^2

Passo 1

O exercício pede para calcular o volume da região T (isto é, tomar f≡1) delimitada pelos cilindros x²+z²=a² e y²+z²=a². O conteúdo é o cálculo de volumes por integração em fatias e vamos usar simetria e integração em z.

Passo 2

Para um z fixo, as duas condições x²+z²≤a² e y²+z²≤a² dão |x|≤√(a²−z²) e |y|≤√(a²−z²). Logo, a seção transversal T∩{z=const} é um retângulo de lados 2√(a²−z²) em x e 2√(a²−z²) em y. A área dessa seção é A(z)=4(a²−z²).

Passo 3

Agora aplicamos a ideia de volume por fatias: integramos A(z) de z=−a até z=+a. Assim
V=integralz=-a^aA(z),dz=integral-a^a4l(a^2-z^2r),dz

Passo 4

Basta calcular a integral:
integral-a^a4(a^2-z^2),dz=4l[a^2z-tfracz^33r]-a^a=4l(2a^3-tfrac2a^33r)=4cdottfrac4a^33=tfrac16a^33

Resposta

V=16a^33

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