Considere a função dada por
. Verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar uma relação envolvendo derivadas parciais de uma função. A função que temos é $ z = y \sin\left(\frac{y}{x}\right) $. A ideia é mostrar que quando a gente multiplica a derivada de $ z $ em relação a $ x $ por $ x $ e a derivada de $ z $ em relação a $ y $ por $ y $, a soma delas dá exatamente $ z $. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e aplicar algumas regras básicas de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $. A função é $ z = y \sin\left(\frac{y}{x}\right) $. Aqui, $ y $ é tratado como uma constante porque estamos derivando em relação a $ x $.
Para derivar $ \sin\left(\frac{y}{x}\right) $ em relação a $ x $, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \sin(u) $ em relação a $ u $ é $ \cos(u) $, e depois multiplicamos pela derivada de $ u $ em relação a $ x $.
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Novamente, a função é $ z = y \sin\left(\frac{y}{x}\right) $.
Aqui, usamos a regra do produto, já que temos $ y $ multiplicando $ \sin\left(\frac{y}{x}\right) $.
Primeiro, derivamos $ y $ em relação a $ y $, que dá 1, e depois multiplicamos pela $ \sin\left(\frac{y}{x}\right) $. Depois, adicionamos $ y $ vezes a derivada de $ \sin\left(\frac{y}{x}\right) $ em relação a $ y $, que é $ \cos\left(\frac{y}{x}\right) \cdot \frac{1}{x} $.
Então,
Passo 4
Agora que temos $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $, vamos inserir esses valores na expressão $ x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} $ e verificar se isso é igual a $ z $.
Primeiro, calculamos $ x \frac{\partial z}{\partial x} $:
Em seguida, calculamos $ y \frac{\partial z}{\partial y} $:
Passo 5
Agora, somamos os dois resultados:
Observamos que $ -\frac{y^2}{x} \cos\left(\frac{y}{x}\right) $ e $ \frac{y^2}{x} \cos\left(\frac{y}{x}\right) $ se cancelam, restando apenas: