Calcule a derivada direcional de f(x, y)=x^2-2 x^2 y+x y^2-1 no ponto (1,2) e na direção do vetor 4 i+6 j

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^2-2x^2y+xy^2-1 no ponto (1,2) na direção do vetor 4i+6j. Vamos usar o conceito de derivada direcional via o gradiente e o vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Para encontrar a derivada direcional, primeiro calculamos o gradiente de f. Precisamos das derivadas parciais:
partial fpartial x=2x-4xy+y^2
partial fpartial y=-2x^2+2xy

Passo 3

Agora avaliamos as derivadas parciais no ponto (1,2):
partial fpartial x(1,2)=2cdot1-4cdot1cdot2+2^2=2-8+4=-2
partial fpartial y(1,2)=-2cdot1^2+2cdot1cdot2=-2+4=2
Logo, nabla f(1,2)=(-2,2).

Passo 4

Precisamos também do vetor unitário na direção (4,6). O módulo de (4,6) é:
| (4,6) |=raiz4^2+6^2=raiz16+36=raiz52=2raiz13
Assim o vetor unitário é
u=l(42raiz13,62raiz13r)=l(2raiz13,3raiz13r)

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional de f na direção de u é o produto escalar entre nabla f(1,2) e u:
Duf(1,2)=(-2,2)cdotl(2raiz13,3raiz13r)=-4+6raiz13=2raiz13

Resposta

2raiz13

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