Encontre
na forma de uma fração irredutível
dado que
, sabendo que
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o valor de $ f(2) $. A gente sabe que a segunda derivada de $ f $, ou seja, $ f’’(x) $, é igual a $ x^2 + 3x $. Além disso, temos duas condições: $ f’(1) = 1 $ e $ f(1) = 2 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e integrais. Primeiro, vamos integrar $ f’’(x) $ para achar $ f’(x) $, usar a condição $ f’(1) = 1 $ para encontrar constantes, e depois integrar $ f’(x) $ para achar $ f(x) $. Por fim, com tudo isso, conseguimos calcular $ f(2) $.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a segunda derivada para encontrar a primeira derivada $ f’(x) $. A gente tem:
Integrando em relação a $ x $:
Aqui, $ C $ é uma constante de integração que a gente ainda vai descobrir.
Passo 3
Agora, vamos usar a condição $ f’(1) = 1 $ para achar o valor de $ C $. Substituindo $ x = 1 $ na expressão de $ f’(x) $:
Simplificando:
Para achar $ C $, vamos resolver essa equação:
Então, a primeira derivada fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar $ f’(x) $ para encontrar $ f(x) $:
Integrando cada termo:
Simplificando:
Aqui, $ D $ é outra constante de integração que vamos descobrir no próximo passo.
Passo 5
Vamos usar a condição $ f(1) = 2 $ para achar $ D $. Substituindo $ x = 1 $ na expressão de $ f(x) $:
Simplificando:
Então, a função completa é:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular $ f(2) $:
Calculando cada termo:
Simplificando:
Unificando os denominadores:
Resposta
$ f(2) = \frac{71}{12} $