Encontre f(2) na forma de uma fração irredutível ab dado que f^prime prime(x)=x^2+3 x, sabendo que f^prime(1)=1 e f(1)=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o valor de $ f(2) $. A gente sabe que a segunda derivada de $ f $, ou seja, $ f’’(x) $, é igual a $ x^2 + 3x $. Além disso, temos duas condições: $ f’(1) = 1 $ e $ f(1) = 2 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e integrais. Primeiro, vamos integrar $ f’’(x) $ para achar $ f’(x) $, usar a condição $ f’(1) = 1 $ para encontrar constantes, e depois integrar $ f’(x) $ para achar $ f(x) $. Por fim, com tudo isso, conseguimos calcular $ f(2) $.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a segunda derivada para encontrar a primeira derivada $ f’(x) $. A gente tem:
f'(x)
Integrando em relação a $ x $:
f''(x) = x^2 + 3x
Aqui, $ C $ é uma constante de integração que a gente ainda vai descobrir.

Passo 3

Agora, vamos usar a condição $ f’(1) = 1 $ para achar o valor de $ C $. Substituindo $ x = 1 $ na expressão de $ f’(x) $:
f'(1) = 1
Simplificando:
C
Para achar $ C $, vamos resolver essa equação:
x = 1
Então, a primeira derivada fica:
f'(x)

Passo 4

Agora, vamos integrar $ f’(x) $ para encontrar $ f(x) $:
f'(x)
Integrando cada termo:
f(x)
Simplificando:
f(x) = integral ( x^33 + 3x^22 - 56 ) , dx
Aqui, $ D $ é outra constante de integração que vamos descobrir no próximo passo.

Passo 5

Vamos usar a condição $ f(1) = 2 $ para achar $ D $. Substituindo $ x = 1 $ na expressão de $ f(x) $:
f(1) = 2
Simplificando:
D
x = 1
f(x)
Então, a função completa é:
2 = 1^412 + 1^32 - 5(1)6 + D

Passo 6

Finalmente, vamos calcular $ f(2) $:
f(2)
Calculando cada termo:
f(2) = 2^412 + 2^32 - 5(2)6 + 94
Simplificando:
f(2) = 1612 + 82 - 106 + 94
Unificando os denominadores:
f(2) = 43 + 4 - 53 + 94

Resposta

$ f(2) = \frac{71}{12} $

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