Determine os valores máximos e mínimos absolutos de f no conjunto D.
f(x, y)=x^4+y^4-4 x y+2 D=(x, y) / 0 <= x <= 3,0 <= y <= 5

Passo 1

A questão pede para encontrar os valores absolutos máximo e mínimo da função f(x,y)=x^4 + y^4 – 4xy + 2 no retângulo D = {(x,y) | 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 5}. O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis, e vamos precisar de derivadas parciais, pontos críticos internos e análise das fronteiras.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f para identificar possíveis pontos críticos internos.
partial fpartial x = 4x^3 - 4y
partial fpartial y = 4y^3 - 4x

Passo 3

Para pontos críticos internos, igualamos as derivadas a zero, obtendo o sistema
4x^3 - 4y = 0 Longrightarrow y = x^3
4y^3 - 4x = 0 Longrightarrow x = y^3
Substituindo y = x^3 em x = y^3 dá x = (x3)3 = x^9, cujas soluções não-negativas são x=0 ou x=1. Logo os candidatos são (0,0) e (1,1).

Passo 4

Avaliamos f nos pontos críticos:
Para (0,0):
f(0,0) = 0^4 + 0^4 - 4·0·0 + 2 = 2
Para (1,1):
f(1,1) = 1^4 + 1^4 - 4·1·1 + 2 = 0

Passo 5

Agora estudamos cada fronteira de D, reduzindo f a uma função de uma variável e checando extremos.
  1. x = 0, y∈[0,5]:
g1(y) = y^4 + 2
Monótona crescente para y≥0. Então mínimo em y=0 (g_1(0)=2) e máximo em y=5 (g_1(5)=627).
  1. x = 3, y∈[0,5]:
g2(y) = 3^4 + y^4 -12y + 2 = y^4 -12y + 83
Derivada g_2’(y)=4y^3 -12; g_2’(y)=0 ⇒ y^3=3 ⇒ y=³√3≈1.44.
Avaliando: g_2(0)=83, g_2(³√3)≈70.02, g_2(5)=648. Assim mínimo≈70.02 e máximo=648.
  1. y = 0, x∈[0,3]:
g3(x) = x^4 + 2
Crescente para x≥0. Mínimo em x=0 (g_3(0)=2) e máximo em x=3 (g_3(3)=83).
  1. y = 5, x∈[0,3]:
g4(x) = x^4 + 5^4 -20x + 2 = x^4 -20x + 627
Derivada g_4’(x)=4x^3 -20; g_4’(x)=0 ⇒ x^3=5 ⇒ x=³√5≈1.71.
Avaliando: g_4(0)=627, g_4(³√5)≈601.35, g_4(3)=648.

Passo 6

Comparando todos os valores obtidos (interior e bordas), o menor valor é f(1,1)=0 e o maior é f(3,5)=648.

Resposta

O valor mínimo absoluto de f em D é 0, atingido em (1,1); o valor máximo absoluto de f em D é 648, atingido em (3,5).

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