A temperatura de uma chapa plana é dada por
(
em
e
em cm )
Determine a partir do ponto
, em que direção devemos seguir a fim de que a temperatura permaneça constante;
Determine a partir do ponto
Passo 1
O enunciado diz que a temperatura na chapa é dada por
e, a partir do ponto
, queremos achar a direção em que
permanece constante. Esse é um problema de derivada direcional e gradiente de funções de duas variáveis.
Passo 2
Para ficar com temperatura constante, a derivada direcional de
na direção unitária
deve ser zero:
. Ou seja, buscamos uma direção perpendicular ao gradiente de
.
Passo 3
Calcular o gradiente de
: temos
.
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
:
.
Passo 5
Procurar um vetor unitário
tal que
. Isso leva à condição
.
Passo 6
Resolver
: um vetor perpendicular é
. Normalizando, o comprimento de
é
, logo a direção unitária é
, podendo também seguir no sentido oposto.
Resposta
A direção em que a temperatura permanece constante, como vetor unitário, é
(ou, invertendo o sentido,
).