A temperatura de uma chapa plana é dada por T(x, y)=x^2+y^2 ( T em ^circ C, x e y em cm )
Determine a partir do ponto (3,4), em que direção devemos seguir a fim de que a temperatura permaneça constante;

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura na chapa é dada por T(x,y)=x^2+y^2 e, a partir do ponto (3,4), queremos achar a direção em que T permanece constante. Esse é um problema de derivada direcional e gradiente de funções de duas variáveis.

Passo 2

Para ficar com temperatura constante, a derivada direcional de T na direção unitária u deve ser zero: D uT=nabla Tcdot u=0. Ou seja, buscamos uma direção perpendicular ao gradiente de T.

Passo 3

Calcular o gradiente de T: temos nabla T(x,y)=l(partial T/partial x,,partial T/partial yr)=(2x,2y).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (3,4): nabla T(3,4)=(2cdot3,2cdot4)=(6,8).

Passo 5

Procurar um vetor unitário u=(a,b) tal que nabla T(3,4)cdot u=6a+8b=0. Isso leva à condição 3a+4b=0.

Passo 6

Resolver 3a+4b=0: um vetor perpendicular é (-4,3). Normalizando, o comprimento de (-4,3) é raiz(-4)^2+3^2=5, logo a direção unitária é l(-tfrac45,tfrac35r), podendo também seguir no sentido oposto.

Resposta

A direção em que a temperatura permanece constante, como vetor unitário, é l(-tfrac45,tfrac35r) (ou, invertendo o sentido, l(tfrac45,-tfrac35r)).

Exercícios relacionados