Calcule a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada direcional da função f(x,z)=1+2x√z no ponto (2,2) na direção do vetor v=(3,7). Esse problema envolve calcular o gradiente de f (derivadas parciais) e projetá-lo num vetor unitário na direção de v.
Passo 2
Primeiro, vamos obter as derivadas parciais de f. Lembrando que ao derivar em relação a x consideramos z como constante, e vice-versa. Assim,
Passo 3
Agora avaliamos essas derivadas no ponto (2,2). Temos
Passo 4
Logo, o gradiente em (2,2) é
Passo 5
Em seguida, precisamos do vetor unitário na direção de v. O comprimento de v é
Passo 6
Assim,
Passo 7
Por fim, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e u:
Passo 8
Podemos simplificar usando
, o que dá