Calcule a derivada direcional da função f(x, z)=1+2 x raizz no ponto (2,2) na direção do vetor v=(3,7).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional da função f(x,z)=1+2x√z no ponto (2,2) na direção do vetor v=(3,7). Esse problema envolve calcular o gradiente de f (derivadas parciais) e projetá-lo num vetor unitário na direção de v.

Passo 2

Primeiro, vamos obter as derivadas parciais de f. Lembrando que ao derivar em relação a x consideramos z como constante, e vice-versa. Assim,
partial fpartial x(x,z)=2raizz,
partial fpartial z(x,z)=2xcdot12raizz=xraizz

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (2,2). Temos
partial fpartial x(2,2)=2raiz2,
partial fpartial z(2,2)=2raiz2=raiz2

Passo 4

Logo, o gradiente em (2,2) é
nabla f(2,2)=l(2raiz2,,raiz2r)

Passo 5

Em seguida, precisamos do vetor unitário na direção de v. O comprimento de v é
|v|=raiz3^2+7^2=raiz58

Passo 6

Assim,
u=v|v|=l(3raiz58,,7raiz58r)

Passo 7

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e u:
Duf(2,2)=nabla f(2,2)cdot u =2raiz2cdot3raiz58+raiz2cdot7raiz58=(6+7)raiz2raiz58=13raiz2raiz58

Passo 8

Podemos simplificar usando raiz58=raiz29cdot2=raiz29,raiz2, o que dá
13raiz2raiz58=13raiz2raiz29,raiz2=13raiz29

Resposta

Dvec vf(2,2)=13raiz29.

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