Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.
d yd x=yx+2 x+1

Passo 1

A equação dada é dydx = yx + 2x + 1. Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem no formato y' + p(x)y = q(x). Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Reescrevendo no padrão linear temos dydx - 1xy = 2x + 1. Aqui p(x) = -tfrac1x. O fator integrante é mu(x)=e^integral p(x),dx = e^integral -tfrac1xdx = e^-ln|x| = x^-1.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por mu(x)=x^-1, obtendo
1xdydx - 1x^2y = 2 + 1x
O lado esquerdo é exatamente a derivada do quociente y/x, pois
ddxl(yxr) = 1xdydx - 1x^2y
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
yx = integrall(2 + 1xr)dx = 2x + ln|x| + C
Multiplicando por x para voltar a y, temos a solução geral
y = xl(2x + ln|x| + Cr) = 2x^2 + xln|x| + Cx

Resposta

y = 2x^2 + x\ln|x| + Cx

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