Determine a taxa de variação das funções abaixo no ponto e na direção indicados:
P=(2,1), no ponto P Q, na direção do vetor Q=(3,3), onde

Passo 1

Estamos lidando com f(x,y)= ln(x^2+y^2), queremos a derivada direcional em P=(2,1) na direção de PQ onde Q=(3,3). Para isso vamos usar o conceito de gradiente e vetor unitário.

Passo 2

O gradiente de f nos dá a direção de maior crescimento e é definido por ∇f(x,y)= (∂f/∂x, ∂f/∂y). Como f(x,y)= ln(x^2+y^2), aplicando regra da cadeia obtemos
nabla f(x,y)=(2xx^2+y^2,,2yx^2+y^2)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto P=(2,1):
nabla f(2,1)=(2cdot22^2+1^2,,2cdot12^2+1^2)=(45,,25)

Passo 4

Precisamos do vetor direção PQ=Q−P=(3−2,3−1)=(1,2). O módulo desse vetor é |PQ|= raiz1^2+2^2=raiz5. Então o vetor unitário é
u=1raiz5(1,2)=(1raiz5,,2raiz5)

Passo 5

A derivada direcional D_{\mathbf u}f§ é o produto escalar entre ∇f§ e u. Assim:
D uf(P)=(45,,25)cdot(1raiz5,,2raiz5) =45raiz5+45raiz5=85raiz5

Passo 6

Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por raiz5, obtendo
85raiz5=8raiz525

Resposta

85raiz5 ;=; 8raiz525

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