Nos problemas 7-16, obtenha a solução geral para a equação.
x d yd x+3(y+x^2)=sen xx

Passo 1

Nesse problema temos a equação diferencial de primeira ordem x dydx + 3(y + x^2) = sin xx. O conteúdo é equação linear de primeira ordem e vamos precisar do fator integrante para resolver.

Passo 2

Dividimos a equação toda por x para ficar no formato padrão dydx + P(x),y = Q(x). Assim obtemos
dydx + 3x y = sin xx^2 - 3x

Passo 3

Identificamos P(x) = 3x. O fator integrante mu(x) é dado por exp(integral P(x),dx). Calculando:
mu(x) = expl(integral 3x,dxr) = exp(3ln x) = x^3

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão por mu(x)=x^3. No lado esquerdo isso vira a derivada do produto x^3 y:
x^3 dydx + 3x^2 y = ddx(x^3 y)
No lado direito fica
x^3l(sin xx^2 -3xr) = xsin x -3x^4

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x. De um lado
integral d(x^3 y) = x^3 y
Do outro lado
integral (xsin x - 3x^4),dx = integral xsin x,dx - 3integral x^4,dx
Para integral xsin x,dx, usamos integração por partes:
integral xsin x,dx = -xcos x + sin x
E também
-3integral x^4,dx = -35x^5
Somando tudo mais a constante C, obtemos
x^3 y = -xcos x + sin x - 35x^5 + C

Passo 6

Finalmente isolamos y dividindo por x^3 e simplificamos cada termo:
y = -cos xx^2 + sin xx^3 - 35x^2 + Cx^3

Resposta

y(x) = -cos xx^2 + sin xx^3 - 35x^2 + Cx^3

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