Calcule a derivada direcional da função f(x, y)=-4 x y-15 x^5-15 y^5 no ponto (1,-1) na direção u=raiz22 i-raiz22 j.

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a derivada direcional da função f(x,y)=-4xy-tfrac15x^5-tfrac15y^5 no ponto (1,-1) na direção u=tfracraiz22i-tfracraiz22j. O conteúdo é derivada direcional, que envolve o gradiente de f e o produto escalar.

Passo 2

Para encontrar a derivada direcional, primeiro determinamos as derivadas parciais de f. Sabemos que
fx=partialpartial x(-4xy)-partialpartial xl(tfrac15x^5r)= -4y - x^4,
fy=partialpartial y(-4xy)-partialpartial yl(tfrac15y^5r)= -4x - y^4

Passo 3

Em seguida, avaliamos essas derivadas parciais no ponto (1,-1):
fx(1,-1)= -4(-1) - 1^4 = 4 - 1 = 3,
fy(1,-1)= -4cdot1 - (-1)^4 = -4 - 1 = -5
Logo, o gradiente naquele ponto é nabla f(1,-1) = (3,,-5).

Passo 4

A derivada direcional de f na direção unitária u é dada pelo produto escalar
Duf(1,-1)=nabla f(1,-1)cdot u

Passo 5

Substituindo os valores temos
Duf(1,-1)= (3,-5)cdotl(tfracraiz22,-tfracraiz22r)=3tfracraiz22+(-5)(-tfracraiz22)=8raiz22=4raiz2

Resposta

4\sqrt{2}

Exercícios relacionados