Considere a função f(x, y)=x^33-x-y^33-y. Calcule:
Determine os pontos críticos de f.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver juntos esse exercício. A questão pede para encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) = \frac{x^{3}}{3} - x - \frac{y^{3}}{3} - y $. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Para chegar lá, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. Isso significa que tratamos $ y $ como uma constante e derivamos em relação a $ x $.
f

Passo 3

Agora, fazemos o mesmo para a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante.
f

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
x^2 - 1 = 0 -y^2 - 1 = 0

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação $ x^{2} - 1 = 0 $:
x^2 - 1 = 0
Isso nos dá duas possíveis soluções para $ x $: $ x = 1 $ e $ x = -1 $.

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda equação $ -y^{2} - 1 = 0 $:
-y^2 - 1 = 0
Aqui, chegamos a uma situação problemática: $ y^{2} = -1 $. No conjunto dos números reais, um número ao quadrado nunca é negativo, então não existe nenhum valor real de $ y $ que satisfaça essa equação.

Passo 7

Como não existe nenhum valor real para $ y $ que torne $ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 $, concluímos que não há pontos críticos reais para a função $ f(x, y) $.

Resposta

A função $ f(x, y) = \frac{x^{3}}{3} - x - \frac{y^{3}}{3} - y $ não possui pontos críticos reais.

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