Considere a função
. Calcule:
Determine os pontos críticos de
.
Determine os pontos críticos de
Passo 1
Beleza! Vamos resolver juntos esse exercício. A questão pede para encontrar os pontos críticos da função $ f(x, y) = \frac{x^{3}}{3} - x - \frac{y^{3}}{3} - y $. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Para chegar lá, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $. Isso significa que tratamos $ y $ como uma constante e derivamos em relação a $ x $.
Passo 3
Agora, fazemos o mesmo para a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante.
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Passo 5
Vamos resolver a primeira equação $ x^{2} - 1 = 0 $:
Isso nos dá duas possíveis soluções para $ x $: $ x = 1 $ e $ x = -1 $.
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda equação $ -y^{2} - 1 = 0 $:
Aqui, chegamos a uma situação problemática: $ y^{2} = -1 $. No conjunto dos números reais, um número ao quadrado nunca é negativo, então não existe nenhum valor real de $ y $ que satisfaça essa equação.
Passo 7
Como não existe nenhum valor real para $ y $ que torne $ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 $, concluímos que não há pontos críticos reais para a função $ f(x, y) $.
Resposta
A função $ f(x, y) = \frac{x^{3}}{3} - x - \frac{y^{3}}{3} - y $ não possui pontos críticos reais.