Calcule a integral integral0^infty(1+x) e^-x d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a integral definida de 0 até o infinito da função (1 + x) e^-x. Isso envolve cálculo de integrais, especificamente integrais improprias porque o limite de integração vai até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração e entender como trabalhar com funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: (1 + x) e^-x. Podemos notar que é um produto de duas partes: 1 + x e e^-x. Para integrar essa função, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 3

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função serão u e dv. Uma boa estratégia é deixar u ser o polinômio mais simples e dv ser o resto. Então, vamos definir:
u = 1 + x dv = e^-x dx

Passo 4

Agora, precisamos calcular du e v:
du = d(1 + x) = dx v = integral e^-x dx = -e^-x

Passo 5

Substituindo na fórmula da integração por partes:
integral (1 + x) e^-x dx = uv - integral v , du = (1 + x)(-e^-x) - integral (-e^-x) dx = -(1 + x)e^-x + integral e^-x dx

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral restante:
integral e^-x dx = -e^-x
Substituindo de volta:
-(1 + x)e^-x - e^-x = -(1 + x + 1)e^-x = -(2 + x)e^-x

Passo 7

Então, a primitiva da função (1 + x)e^-x é:
-(2 + x)e^-x + C
Onde C é a constante de integração. Mas como precisamos calcular a integral definida de 0 até infinito, vamos agora aplicar os limites.

Passo 8

A integral definida é:
integral0^infty (1 + x)e^-x dx = [ -(2 + x)e^-x ]0^infty
Vamos calcular os limites:
Para x to infty:
(2 + x)e^-x to 0
Porque e^-x decai mais rápido que qualquer polinômio cresce.
Para x = 0:
-(2 + 0)e^-0 = -2 times 1 = -2

Passo 9

Então, substituindo os limites:
0 - (-2) = 2

Resposta

A integral integral0^infty(1+x) e^-x d x é igual a 2.

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