Calcule a integral
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a integral definida de 0 até o infinito da função
. Isso envolve cálculo de integrais, especificamente integrais improprias porque o limite de integração vai até o infinito. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração e entender como trabalhar com funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando:
. Podemos notar que é um produto de duas partes:
e
. Para integrar essa função, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.
Passo 3
A integração por partes é baseada na fórmula:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função serão
e
. Uma boa estratégia é deixar
ser o polinômio mais simples e
ser o resto. Então, vamos definir:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
e
:
Passo 5
Substituindo na fórmula da integração por partes:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral restante:
Substituindo de volta:
Passo 7
Então, a primitiva da função
é:
Onde
é a constante de integração. Mas como precisamos calcular a integral definida de 0 até infinito, vamos agora aplicar os limites.
Passo 8
A integral definida é:
Vamos calcular os limites:
Para
:
Porque
decai mais rápido que qualquer polinômio cresce.
Para
:
Passo 9
Então, substituindo os limites:
Resposta
A integral
é igual a 2.