Encontre o volume do sólido de revolução formado pela rotação do gráfico de f(x)=-x^2+x em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x o gráfico de f(x)=−x²+x entre as interseções com o eixo x. Vamos usar o método dos discos, que exige integrar π[f(x)]² no intervalo onde f(x)≥0.

Passo 2

Encontrar onde f(x)=0 para determinar os limites de integração. Igualando −x²+x=0 obtemos x(1−x)=0, logo as raízes são x=0 e x=1. Entre 0 e 1, f(x)≥0.

Passo 3

Montar a integral do volume pelo método dos discos:
V=piintegral0^1[f(x)]^2,dx=piintegral0^1(x−x^2)^2,dx

Passo 4

Expandir o integrando e calcular a integral:
(x−x^2)^2=x^2−2x^3+x^4,
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integral0^1(x^2−2x^3+x^4),dx=l[tfracx^33-tfrac2x^44+tfracx^55r]0^1=tfrac13-tfrac12+tfrac15=tfrac130

Passo 5

Multiplicar pelo π para obter o volume final:
V=picdottfrac130=pi30

Resposta

pi30

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