Encontre o volume do sólido de revolução formado pela rotação do gráfico de
em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x o gráfico de f(x)=−x²+x entre as interseções com o eixo x. Vamos usar o método dos discos, que exige integrar π[f(x)]² no intervalo onde f(x)≥0.
Passo 2
Encontrar onde f(x)=0 para determinar os limites de integração. Igualando −x²+x=0 obtemos x(1−x)=0, logo as raízes são x=0 e x=1. Entre 0 e 1, f(x)≥0.
Passo 3
Montar a integral do volume pelo método dos discos:
Passo 4
Expandir o integrando e calcular a integral:
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Passo 5
Multiplicar pelo π para obter o volume final: