(2.0) Calcule a derivada direcional da função f(x, y)=x^2-3 y^2+2 x y no ponto (x, y)=(1,1), na direção v=(35, 45). Partindo-se do ponto (1,1), indique sob qual direção a função f possuí a maior taxa de crescimento.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=x^2-3y^2+2xy, o ponto P=(1,1) e a direção unitária v=(3/5,4/5). Queremos calcular a derivada direcional de f em P na direção v e, em seguida, indicar em que direção f cresce mais rapidamente a partir de P. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e a fórmula da derivada direcional:
Duf(P)=nabla f(P)cdot u,
onde nabla f é o vetor gradiente de f e u é uma direção unitária.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) =(2x+2y,,-6y+2x)
No ponto P=(1,1), isso vale
nabla f(1,1)=(2cdot1+2cdot1,,-6cdot1+2cdot1)=(4,,-4)

Passo 3

Como v já é unitária, a derivada direcional de f em P na direção v é
Dvf(1,1)=nabla f(1,1)cdotv = (4,-4)cdotl(tfrac35,tfrac45r) =4cdottfrac35+(-4)cdottfrac45 =12-165 =-45

Passo 4

A maior taxa de crescimento de f em P ocorre na direção do próprio gradiente nabla f(1,1). A unidade dessa direção é
nabla f(1,1)|nabla f(1,1)| =(4,-4)raiz4^2+(-4)^2 =(4,-4)4raiz2 =l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r)
O valor dessa taxa máxima é |nabla f(1,1)|=4raiz2.

Resposta

A derivada direcional é -tfrac45.
A direção de maior crescimento, como unidade, é l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r), com taxa máxima 4raiz2.

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