(2.0) Calcule a derivada direcional da função
no ponto
, na direção
. Partindo-se do ponto
, indique sob qual direção a função
possuí a maior taxa de crescimento.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
, o ponto
e a direção unitária
. Queremos calcular a derivada direcional de
em
na direção
e, em seguida, indicar em que direção
cresce mais rapidamente a partir de
. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e a fórmula da derivada direcional:
onde
é o vetor gradiente de
e
é uma direção unitária.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
No ponto
, isso vale
Passo 3
Como
já é unitária, a derivada direcional de
em
na direção
é
Passo 4
A maior taxa de crescimento de
em
ocorre na direção do próprio gradiente
. A unidade dessa direção é
O valor dessa taxa máxima é
.
Resposta
A derivada direcional é
.
A direção de maior crescimento, como unidade, é , com taxa máxima
.
A direção de maior crescimento, como unidade, é