3^8 ) Determine a derivada direcional da função z=sen(2 x-y), no ponto (pi2, x) e na direção do vetor A B, sendo A(5,1) e B(2,-3).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
z = sen(2x - y)
no ponto Pl(tfracpi2,xr) (ou seja, xP=tfracpi2 e yP=x) na direção do vetor AB, com A(5,1) e B(2,-3).
Conteúdo: derivada direcional via produto escalar do gradiente com o versor da direção.

Passo 2

Calcular o gradiente de z:
nabla z = l(partial zpartial x,,partial zpartial yr) = l(2cos(2x - y),,-cos(2x - y)r)
Em P, temos 2x-y = 2cdottfracpi2-x=pi - x, logo
nabla z(P) = l(2cos(pi - x),,-cos(pi - x)r)

Passo 3

Determinar o vetor direção AB=B-A:
AB=(2-5,,-3-1)=(-3,,-4)
O módulo é raiz(-3)^2+(-4)^2=5.
O versor é
u =15(-3,-4) =l(-tfrac35,-tfrac45r)

Passo 4

A derivada direcional é
Duz(P) =nabla z(P)cdot u =2cos(pi - x),l(-tfrac35r) +(-cos(pi - x)),l(-tfrac45r)
Isto dá
Duz(P) =l(-tfrac65+tfrac45r)cos(pi - x) =-tfrac25cos(pi - x)
Como cos(pi - x)=-cos x, segue
Duz(P) =-tfrac25l(-cos xr) =tfrac25cos x

Resposta

boxedDAB,zl(tfracpi2,xr) =25,cos x

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